- •Оглавление
- •Предисловие
- •Лекция 1. Понятие погрешности решения систем алгебраических уравнений
- •1.1. Точные и приближенные числа, источники погрешностей, классификация погрешностей
- •Источники погрешностей
- •1.2. Абсолютные и относительные погрешности
- •1.3. Понятие о системе линейных уравнений
- •2.1. Формулы Крамера для решения системы линейных уравнений
- •2.2. Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса)
- •Пусть дана система
- •1.4. Матричные уравнения
- •Лекция 2. Точные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (слау)
- •Обозначим
- •Лекция 3. Приближенные методы решения слау
- •3.1. Понятие предела для векторов и матриц Пусть дана последовательность векторов
- •Аналогично, если имеется последовательность квадратных матриц
- •3.2. Метод простой итерации Пусть дана система линейных уравнений:
- •В матричном виде:
- •Условия сходимости итерационного процесса
- •3.4. Оценка погрешности приближенного процесса методом итерации
- •Лекция 4. Метод зейделя
- •4.1. Условия сходимости процесса Зейделя
- •Пусть дана линейная система
- •4.2. Оценка погрешности процесса Зейделя
- •4.3. Приведение системы линейных уравнений к виду, удобному для итераций
- •Лекция 5. Методы решения нелинейных уравнений
- •5.1. Итерационные методы решения нелинейных уравнений а). Метод простой итерации.
- •Число итераций при использовании этого метода
- •Если корень нас не устраивает, то мы находим
- •Г). Метод Ньютона.
- •5.2. Метод Рыбакова
- •5.3. Метод наискорейшего спуска
- •Лекция 6. Интерполирование и экстраполирование
- •6.1. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •Перепишем этот многочлен в другой форме
- •Окончательно получаем
- •Лекция 7. Конечные разности
- •Рассмотрим некоторые свойства конечных разностей
- •7.1. Первая интерполяционная формула Ньютона для равноотстоящих узлов интерполяции
- •7.2. Вторая интерполяционная формула Ньютона
- •7.3. Оценка погрешностей интерполяционных формул Ньютона
- •Лекция 8. Линейное интерполирование
- •8.1. Интерполирование по Эйткину
- •8.2. Интерполяция и приближение сплайном
- •Приближение линейными сплайнами
- •Лекция 9. Численное интегрирование функций
- •9.1. Постановка задачи
- •9.2. Формула прямоугольников
- •Лекция 10. Численные методы решения задачи коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
- •10.1. Задача Коши. Общие замечания. Постановка задачи
- •10.2. Метод Эйлера
- •10.4. Метод Рунге-Кутта
- •Лекция 11. Разностный метод решения уравнений математической физики (метод сеток)
- •11.1. Метод сеток для уравнения параболического типа
- •Лекция 12. Метод сеток для уравнения гиперболического типа
- •12.2. Метод сеток для уравнений Пуассона и Лапласа
- •Образцы выполнения контрольных работ Контрольная работа № 5
- •Контрольная работа № 6
- •Решение уравнения методом Эйлера
- •Решение уравнения модифицированным методом Эйлера
- •Решение уравнения методом Рунге-Кутта
- •Аналитическое решение заданного уравнения
- •Сравнение точного решения и приближенных решений исходного дифференциального уравнения
- •Контрольная работа №7
- •Контрольная работа №8
- •Решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта
- •Аналитические решения заданного уравнения
- •Примеры заданий для самостоятельной работы Задание 1
- •Задание 2
- •Задание 3
- •Задание 4
- •Задание 5
- •Варианты задания
- •Задание 6
- •Варианты задания
- •Задание 7
- •Варианты задания
- •Задание 8
- •Варианты задания
- •Задача для самостоятельного решения
- •Вопросы для самостоятельной подготовки
- •Библиографический список
Библиографический список
Бахвалов Н.С. Численные методы. – М.: Наука, 1983.
Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. – М.: Физматиздат, 1982.
Богомолов Г.И. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений. – М.: МВТУ, 1994.
Вычислительные методы линейной алгебры. – Новосибирск: Наука, 1985.
Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1989.
Демидович Б.П. и др. Численные методы анализа. – М.: Физматиздат, 1982.
Дэннис Дж., мл., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений: Пер. с англ. – М.: Мир, 1988. – 440 с.
Загускин В.А. Справочник по численным методам. – М.: Физматиздат, 1980.
Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.: Наука, 1987.
Карчевский М.М. Методы вычислений. – Казань, 1990.
Копчелова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. – М.: Наука, 1972.
Котлац Л. Численные методы. – М.: Изд-во Мир, 1983.
Петрякова Е.А., Хоменко А.П. Численные методы в инженерных расчетах. Учебное пособие.- Иркутск: Изд-во ИрИИЖТ, 1996.
Попов Д. Справочник по численному решению дифференциальных уравнений.
Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. – М.: Наука, 1975.
Размыслов Ю.П. , Ющенко С.Я. Практикум по вычислительным методам алгебры. – М.: Изд-во МГУ, 1989.
Рябенький В.С. Об устойчивости разностных схем. – М.: Физматиздат, 1983.
Старзетко Е.А. Алгоритмы и примеры решения уравнений. – Минск: Наука и техника, 1991.