Контрольная работа №8

Пусть дано:

; у(0) = у'(0) = 1; [0;0,3]; h = 0,1.

Решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта

С помощью подстановки у' = z, у'' = z' заменим исходное дифференциальное уравнение системой уравнений:

(**)

с начальными условиями у(0) = 1, z(0) = 1. Таким образом,

f₁(x, y, z) = z,

f₂(x, y, z) = 3z – 2y + x .

Шагом интегрирования h = 0,1 разобьем отрезок [0;0,3] на три равных части точками х₀ = 0, х₁ = 0,1, х₂ = 0,2, х₃ = 0,3. Для вычисления приближенных значений у₁, у₂, у₃ и z₁, z₂, z₃ решения системы (**) воспользуемся формулами (10.17). Результаты вычислений помещены в табл.11. Заполнение таблицы ведется в следующем порядке.

При i = 0:

1. Записываем в первой строке х₀ = 0, у₀ = 1, z₀ = 1.

2. Вычисляем f₁(x₀, y₀, z₀) = z₀ = 1, f₂(x₀, y₀, z₀) = 3z₀ – 2y₀ + x₀ = 1,

тогда К₁⁽⁰⁾ = 0,1∙1 = 0,1; l₁⁽⁰⁾ = 0,1∙1 = 0,1.

3. Записываем во второй строке

, , .

4. Вычисляем

тогда .

5. Записываем в третьей строке

, , .

6. Вычисляем

,

тогда .

7. Записываем в четвертой строке

, ,

8. Вычисляем

тогда .

9. В столбцы и записываем числа K₁⁽⁰⁾, 2K₂⁽⁰⁾, 2K₃⁽⁰⁾, K₄⁽⁰⁾ и соответственно.

10. Вычислим

11. Получаем

Значения заносим в строку, помеченную индексом i = 1, и снова проводим вычисления по формулам (10.17). В результате этих вычислений получаем следующую таблицу приближенных значений решения системы (**).

Таблица 11

i	x	y	z	K	l	Δy	Δz
0	0	1,000000	1,000000	0,100000	0,100000	0,100000	0,100000
	0,05	1,050000	1,050000	0,105000	0,110000	0,210000	0,220000
	0,05	1,052750	1,055000	0,105500	0,111000	0,211000	0,222000
	0,1	1,105500	1,111000	0,111100	0,122200	0,111100	0,122200
						0,105349	0,110681
1	0,1	1,105349	1,110681	0,111069	0,122134	0,111068	0,122134
	0,15	1,160883	1,171748	0,1171748	0,134348	0,234349	0,268696
	0,15	1,163936	1,1778546	0,117785	0,135557	0,235570	0,471140
	0,2	1,223134	1,246250	0,124625	0,149248	0,124625	0,149248
						0,117602	0,1351985
2	0,2	1,222951	1,245879	0,124588	0,149174	0,124588	0,149174
	0,25	1,285245	1,320466	0,1320466	0,164091	0,264093	0,328182
	0,25	1,288974	1,327925	0,1327925	0,1655825	0,265585	0,331165
	0,3	1,355743	1,411462	0,411462	0,1822899	0,1411462	0,1822899
						0,1325686	0,165135
3	0,3	1,3555196	1,4110142

i	xi	yi	zi
1	0,1	1,105349	1,110681
2	0,2	1,222951	1,245879
3	0,3	1,3555196	1,4110142