7.2. Вторая интерполяционная формула Ньютона

Для интерполирования в конце таблицы обычно применяют вторую интерполяционную формулу Ньютона.

Пусть на [a,b] даны n + 1 различные значения аргумента х₀, х₁, …, х_{n ,}, которым соответствуют следующие значения

; ; …; ,

а шаг интерполяции постоянен и равен h, т.е. .

Построим интерполяционный многочлен вида

В этом многочлене неизвестны коэффициенты а₀ , а₁, а₂, …, а_n . Их надо подобрать так, чтобы были возможны равенства:

; ; … ; .

Для этого необходимо и достаточно, чтобы

.

Коэффициент а₀ найдем, положив х = х_n в равенстве (7.4)

откуда

Отсюда, полагая х = х_n-1 имеем , следовательно

.

Из выражения для второй конечной разности имеем а₂

Полагая х = х_n-2, получим

,

откуда

, .

Подставляя найденные значения коэффициентов, получим :

Это и есть вторая интерполяционная формула Ньютона. Положим q = (x - x_n)/h, тогда

; ;

(7.5)

Первая интерполяционная формула Ньютона используется для интерполирования в начале отрезка [a,b], а вторая – на конечном участке таблицы.

7.3. Оценка погрешностей интерполяционных формул Ньютона

Оценка погрешности для интерполяционной формулы Лагранжа:

.

Если все узлы интерполяции равноотстоящие, то, введя шаг и полагая , получим оценку погрешности для первой интерполяционной формулы Ньютона(7.4)

,

где  отрезку интерполяции [x₀, x_n].

Аналогичным образом, для второй интерполяционной формулы Ньютона с равноотстоящими узлами интерполяции, полагая , получим оценку погрешности

,

где .

Лекция 8. Линейное интерполирование

В тех случаях, когда нет необходимости в отыскании приближенного аналитического выражения функции y = f(x), заданной таблично, требуется лишь определить значение функции в точке, отличной от узла интерполяции, удобно использовать последовательную линейную интерполяцию по Эйткину.

8.1. Интерполирование по Эйткину

Вычисление значения функции в точке, отличной от узлов интерполяции, начинается с вовлечения в счет двух узлов интерполяции с последующим включением в схему новых узлов интерполяции.

Пусть некоторый интерполяционный многочлен F(x) степени n принимает в узлах интерполяции х₀, х₁, …, х_n значения

; ; …; .

Воспользовавшись формулой Лагранжа для случая линейной интерполяции, на отрезке [x₀, x₁] интерполяционное значение функции можно вычислить по формуле

, (8.1)

на отрезке [x₁, x₂]

, (8.2)

и, наконец, на отрезке [x₀, x₂] по формуле

. (8.3)

Далее заменим у₀ и у₂ в формуле (8.3) соответственно на F_0,1(x) и F_1,2(x) .

Получим следующее выражение

,

или

.

8.2. Интерполяция и приближение сплайном

Для определенности будем говорить о приближении функции f(x) на [0,1]. Разобьем отрезок на части

и обозначим это разбиение через .

Назовем «сплайном» порядка m функцию, являющуюся многочленом степени m на каждом из отрезков , т.е.

,

при х_n-1  x  x_n удовлетворяющую условиям непрерывности производных до порядка m – 1 в точках х₁, …, x_{n-1 :}

(8.5)

при .

Всего имеется в распоряжении неизвестных коэффициентов а_nm, и соотношения (8.5) образуют систему из линейных алгебраических уравнений.

Другие уравнения для коэффициентов получают из условия близости сплайна к приближаемой функции и из некоторых дополнительных условий.