Аналитическое решение заданного уравнения
Уравнение
у' – у = -2ху-1
есть уравнение Бернулли. Проинтегрируем его методом Бернулли, для чего положим у = uv, где u и v две неизвестные функции. Тогда исходное уравнение преобразуется к следующему:
u'v – v'u – uv = -2x(uv)-1
или
u(v'–v)+ u'v = -2x(uv)-1 . (*)
Функцию v выберем из условия v' – v = 0, причем возьмем частное решение этого дифференциального уравнения v = ех.
Подставив v в уравнение (*), получаем u' ех = -2хu-1е-х,
а это – уравнение с разделяющими переменными. Решая его, находим
u2 = с +2хе-2х + е-2х .
Так
как решение исходного уравнения есть
произведения функций u
и v,
то получаем
.
При начальном условии у(0) = 1 получим
.
Таким образом, искомое частное решение имеет вид
.
Сравнение точного решения и приближенных решений исходного дифференциального уравнения
Таблица 6
|
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
1,0 |
в точке х = 1,0 |
|
Абсолют. погрешн. |
Относит. погрешн. |
||||||
точное |
1,1832 |
1,3416 |
1,4832 |
1,6124 |
1,7320 |
|
|
по методу Эйлера |
1,2000 |
1,3733 |
1,5294 |
1,6786 |
1,8237 |
0,0917 |
5,3% |
по модиф. методу Эйлера |
1,1836 |
1,3426 |
1,4850 |
1,6152 |
1,7362 |
0,0042 |
0,24% |
по методу Рунге- Кутта |
1,1832 |
1,3417 |
1,4833 |
1,6125 |
1,7321 |
0,0001 |
0,006% |
Контрольная работа №7
Пусть дано:
;
у(0)
=
0;
x
[0,0,2];
.
Для выбора шага интегрирования вычислим решение в точке х = 0,1 с шагом h = 0,1(табл.7) и с шагом h = 0,05 (табл.8).
Таблица 7
х |
у |
sh(0,5y+x) |
f (x,y) |
k =hf (x,y) |
Δу |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,05 |
0 |
0,05002 |
0,0334 |
0,00334 |
0,00668 |
0,05 |
0,00167 |
0,5087 |
0,0347 |
0,00347 |
0,00694 |
0,1 |
0,00347 |
0,10192 |
0,0697 |
0,00697 |
0,00697 |
|
|
|
|
|
0,00343 |
0,1 |
0,00343 |
|
|
|
|
В
таблицах
.
Таблица 8
х |
у |
sh(0,5y+x) |
f(x,y) |
k=hf(x,y) |
Δу |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,025 |
0 |
0,02500 |
0,01667 |
0,000834 |
0,001668 |
0,025 |
0,000417 |
0,02521 |
0,01702 |
0,000851 |
0,001702 |
0,05 |
0,000851 |
0,0545 |
0,03406 |
0,001703 |
0,001703 |
|
0,000846 |
||||
0,05 |
0,000846 |
0,05044 |
0,03405 |
0,001702 |
0,001702 |
0,075 |
0,001697 |
0,07592 |
0,05146 |
0,002573 |
0,005146 |
0,075 |
0,002132 |
0,07614 |
0,05183 |
0,002592 |
0,005184 |
0,1 |
0,003438 |
0,10190 |
0,06965 |
0,003482 |
0,003482 |
|
0,002586 |
||||
0,1 |
0,003432 |
|
|
|
|
Так как полученные результаты совпадают в пределах заданной точности, вычисления продолжим с шагом h = 0,1 и с шагом h = 0,2.
Результаты вычислений помещены в табл.9 и табл.10 соответственно.
Таблица 9
х |
у |
sh(0,5y+x) |
f(x,y) |
k=hf(x,y) |
Δу |
0,1 |
0,003432 |
0,10190 |
0,06965 |
0,006965 |
0,006965 |
0,15 |
0,006914 |
0,15406 |
0,10617 |
0,01617 |
0,021234 |
0,15 |
0,008740 |
0,15499 |
0,10770 |
0,010770 |
0,021540 |
0,2 |
0,014202 |
0,20858 |
0,14615 |
0,014615 |
0,014615 |
|
0,010726 |
||||
0,2 |
0,014158 |
|
|
|
|
Таблица 10
х |
у |
sh(0,5y+x) |
f(x,y) |
k=hf(x,y) |
Δу |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,1 |
0 |
0,10017 |
0,06678 |
0,013356 |
0,026712 |
0,1 |
0,006678 |
0,10352 |
0,07235 |
0,014470 |
0,028940 |
0,2 |
0,014470 |
0,20872 |
0,14638 |
0,029276 |
0,029276 |
|
|
|
|
|
0,014155 |
0,2 |
0,014155 |
|
|
|
|
Сравнение результатов расчета, полученных с шагом h = 0,1 и с шагом h = 0,2, показывает, что с точностью до ε = 10-3 можно принять у(0,2) ≈ 0,014158 и что в дальнейшем шаг расчета следовало бы снова удвоить.