10.2. Метод Эйлера

Будем считать, что шаг интегрирования h настолько мал, что для всех значение искомой функции у(х) мало отличается от у₀. Тогда можно записать

у = у₀ + (х – х₀) f (х₀, у₀), .

Иными словами, на этом участке интегрирования кривая у(х) заменяется отрезком касательной к ней в точке х₀.

Для х = х₁ получаем

у₁ = у₀+ h∙f (x₀,y₀).

Аналогично для х = х₂ можно получить

у₂ = у₁+ h∙f (x₁,y₁).

Продолжая строить дальнейшие значения приближенного решения по тому же закону, получим

y_i+1=y_i + h∙f (x_i, y_i), .

Используя известные обозначения, схему метода Эйлера можно представить формулами:

y_i+1= y_i +Δу_i, Δу_i = h∙f (x₁,y₁), (10.8)

Г еометрический смысл метода Эйлера заключается в том, что искомая интегральная кривая у = у(х) заменяется ломаной, соединяющей точки М_i(x_i,y_i), (рис.10.1). Причем первое звено ломаной касается истинной интегральной кривой в точке М₀(х₀,у₀).

Эта ломаная называется ломаной Эйлера. При h→0 последовательность

ломаных Эйлера на отрезке [x₀, b] стремится к искомой интегральной кривой.

Оценку точности метода Эйлера, если неизвестно точное решение у = у(х), проводят с помощью двойного пересчета – с шагом h и с шагом . Совпадение десятичных знаков в полученных двумя способами результатах дает основание считать их верными.

Метод Эйлера легко распространяется на системы дифференциальных уравнений (10.3) и на дифференциальные уравнения высших порядков (10.1), которые должны быть предварительно приведены к нормальной системе (переход от (10.1) к (10.5)).

Рассмотрим систему двух дифференциальных уравнений первого порядка:

(10.9)

с начальными условиями у(х₀) = у₀, z(x₀) = z₀. Приближенные значения у(x_i) ≈ y_i, z(x_i) ≈ z_i вычисляются последовательно по формулам:

, (10.10)

10.3. Модифицированный метод Эйлера является более точным методом по сравнению с предыдущим. Модификация метода направлена на то, чтобы более точно определить направление перехода из точки (x_i,y_i) в точку (x_i+1,y_i+1). Для чего производятся дополнительные промежуточные вычисления, в результате которых определяются координаты промежуточной точки

(10.11)

с помощью которых и определяется следующее приближенное значение y_i+1 искомого решения по формуле

, (10.12)

Геометрический смысл модифицированного метода Эйлера показан на рис.10.2. Исходя из точки М₀(x₀,y₀), получаем по методу Эйлера для х = точку .

Для х = х₁ метод Эйлера дал бы точку на касательной к интегральной кривой в точке М₀ . Модифицированный метод состоит в том, что из точки М₀ проводится отрезок М₀М₁, параллельный отрезку , направленному в соответствии со значение углового коэффициента в точке . Точка М₁, которая получена по модифицированному методу Эйлера, находится ближе к истинной кривой, чем точка . Следовательно, модифицированный метод Эйлера будет обеспечивать большую точность, чем метод Эйлера при одном и том же числе n разбиения отрезка интегрирования.

Модифицированный метод Эйлера легко распространить на нормальную систему дифференциальных уравнений (10.3). Рассмотрим систему двух уравнений первого порядка:

,

с начальными условиями у₀ = у(х₀), z₀ = z(x₀).

Приближенные значения у(x_i) ≈ y_i, z(x_i) ≈ z_i вычисляются последовательно по формулам:

, (10.13)

где ,

,

,

,