3.5 Метод Гауса-Зейделя

Метод Зейделя являє собою модифікацію метода послідовних наближень, при чому у методі Зейделя при обчисленні і-ої координати вектора розв’язку - го наближення використовуються значення всіх (і-1) координат вектора - е наближення обчислені раніше. Розглянемо метод більш детально.

Нехай початкова система лінійних алгебраїчних рівнянь приведена до нормального вигляду:

               (3.17)

Алгоритм Гауса-Зейделя

Вибрати значення координат вектора початкових наближень

Визначити значення першої координати вектора першого наближення з першого рівняння системи:

Підставити в друге рівняння системи значення першої координати , яке обчислено на попередньому кроці

Отримані значення координат першого наближення , підставляємо у третє рівняння системи (3.14)

для знаходження третій координати і т.д.

1. Для знаходження останньої координати вектора першого наближення в останнє рівняння системи треба підставити значення всіх (n-1) координат ( ), які отримані на попередніх кроках та значення координати

6. Аналогічно будують друге, третє та інші наближення. Так для вектора (k+1) -го наближення за методом Зейделя використовуют наступні формули:

          (3.18)

Умови збіжності ітераційного процесу Зейделя

Даний процес розв’язання СЛАР - ітераційний, тому важливим є аналіз умов збіжності ітераційного процесу. Процес Зейделя для системи лінійних рівнянь збігається до точного розв’язку с заданою похибкою при будь-якому виборі вектора початкових наближеннь, якщо будь яка норма матриці менша 1, тобто якщо:

                         (3.19)

                         (3.20)

                         (3.21)

Відомо, що процес Зейделя сходиться до точного розв’язку СЛАР швидше ніж метод послідовних наближень.

Приклад. Знайти першу та другу норми та проаналізувати умови збіжності ітераційного процесу для матриці , яка має вигляд :

Очевидно, що процес ітерації для даної системи сходиться до точного розв’язку, не дивлячись на те, що

{0,59; 0,16; 1,1}=1,1>1.

Оцінка похибки методу Гауса-Зейделя

Якщо - точне значення вектора розв’язку системи лінійних рівнянь; а - к-е наближення, обчислене за методом      Гауса-Зейделя, то для оцінки похибки цього метода використовується формула:

               (3.22)

3.6 Метод верхньої релаксації

В основі метода верхньої релаксації використовується алгоритм та обчислювальна схема метода Гауса-Зейделя, але на відміну від нього нові значення координат вектора к-го наближення визначаються за формулами:

,               (3.23)

де - уточнене значення змінної по методу Гауса-Зейделя, - параметр релаксації, значення якого визначається з інтервалу . При =1 метод тотожний методу Гауса-Зейделя. Швидкість збіжності ітераційного процесу залежить від значення .

Лекція № 4 чисельні методи роз’вязання нелінійних рівнянь та систем нелінійних рівнянь

 

Інженеру часто доводиться вирішувати алгебраїчні та трансцендентні рівняння, що може представляти собою самостійну задачу чи є складовою частиною більш складних задач. В обох випадках практична цінність чисельного методу в значній мірі визначається швидкістю та ефективністю отримання розв’язку. Вибір необхідного алгоритму для розв’язку рівнянь залежить від характеру задачі, яка розглядається. Розглянемо основні теоретичні поняття та практичні рекомендації при розв’язку нелінійних рівнянь на ЕОМ.