10.1.3 Метод прогонки

Якщо звичайне диференціальне рівняння (ЗДР) 2-го порядку розв’язати методом скінченних різниць, то початкове ЗДР зводиться до системи лінійних алгебраїчних рівнянь з тридіагональною матрицею коефіцієнтів, тобто такою, що кожне рівняння системи має три сусідні невідомі:

          (10.11)

Для розв’язання такої системи розроблено спеціальний метод – прогонки. Розглянемо лінійне диференціальне рівняння другого порядку

          (10.12)

з двоточковими граничними умовами:

          (10.13)

     ; ,      (10.14)

де функції , , неперервні на .

Прийдемо до скінченнорізницевого рівняння

; ; ; ;

     .          (10.15)

Підставляючи вираз (10.15) у початкове ЗДР (10.12), отримаємо для внутрішніх точок систему скінченнорізницевих рівнянь:

          .     (10.16)

Після деяких перетворень (10.16) матимемо

     ;          (10.17)

де

     ; ; .     (10.18)

Для похідних на кінцях відрізка інтегрування і знаходимо скінченнорізницеві рівняння виду

     ;          (10.19)

і, підставляючи їх у граничні умови (10.13) і (10.14), отримаємо два рівняння:

               (10.20)

Система рівнянь (10.17), (10.20) відносно невідомих являє собою систему лінійних алгебраїчних рівнянь з три діагональною матрицею коефіцієнтів. Цю систему зручно розв’язати методом прогонки.

Розглянемо суть цього методу.

1. Представимо рівняння (10.17) відносно :

     .          (10.21)

2. Допустимо, що за допомогою рівнянь (10.20) і (10.21) виключена складова , тоді рівняння будуть мати вигляд

          (10.22)

де – деякі коефіцієнти.

3. За аналогією з (10.22) представимо у вигляді

          (10.23)

і, підставляючи його в (10.17), матимемо

          (10.24)

і, отже,

     .     (10.25)

4. Порівнюючи вирази (10.22) та (10.25), отримуємо рекурентні формули для визначення коефіцієнтів , вигляду

     ; , .     (10.26)

5. Для визначення виразу для та використовуємо рівняння (10.20) та (10.22):

     ;     (10.27)

     та .     (10.28)

Порівнюючи останні дві нерівності, знаходимо:

     ;     .     (10.29)

На основі формул (10.17) та (10.29) послідовно визначаємо коефіцієнти до і включно. Процес знаходження коефіцієнтів називають прямим ходом методу прогонки.

Зворотній хід методу прогонки починається з визначення . Використовуючи другу граничну умову (10.20) та формулу (10.22), отримуємо систему з двох рівнянь:

          (10.30)

Розв’язуючи цю систему відносно , отримаємо:

     .     (10.31)

Тепер за формулою (10.22) послідовно знаходимо розв’язок початкового ЗДР:

Таким чином, метод прогонки достатньо простий, легко алгоритмізується та включає прямий та зворотній хід. Причому:

1) прямий хід полягає в знаходженні коефіцієнтів за рекурентними формулами (10.26);

2) зворотній хід полягає у знаходженні розв’язку початкового ЗДР за формулою (10.22).

Схему алгоритму методу прогонки показано на рис. 10.1.

    

     Рисунок 10.1 - Схему алгоритму методу прогонки

   Лекція № 11

     ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ'ЯЗАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ У ЧАСТИННИХ ПОХІДНИХ (ЧАСТИНА 1)

 

Диференціальні рівняння (ДР) в частинних похідних складають у даний час одну з галузей чисельного аналізу, які набувають дуже швидких темпів розвитку. Області науки і техніки, де розглядаються рівняння в частинних похідних, численні і важливі. До них відносяться, наприклад, ядерна фізика, метрологія, аеро-, гідро-, теплодинаміка, теорія управління і т.п. При цьому існує достатньо невелика кількість задач, які вирішуються у явному вигляді.

Диференційні рівняння в частинних похідних класифікуються:

  залежно від їх математичної природи (наприклад, еліптичні, параболічні тощо);

  залежно від фізичного змісту задач, які розв'язуються з їх допомогою (рівняння дифузії, хвильове рівняння тощо).

Розглянемо рівняння 2-го порядку з двома невідомими незалежними змінними:

,     (11.1)

де х, у – незалежні змінні; u – шукана функція; u_х, u_у, u_хх, u_уу – її 1-і та 2-і частинні похідні за аргументами х та у.

Розв'язком рівняння (11.1) називається функція , яка перетворює це рівняння в тотожність. Графік функції розв‘язку представляє поверхню у просторі ОХУ (інтегральна поверхня) (рис. 11.1).

    

     Рисунок 11.1 – Приклади інтегральних поверхонь

Рівняння (11.1) називається лінійним, якщо воно відносно 1-го степеня шуканої функції i всіх її похідних, i не стримує їхні добутки, та може мати вигляд:

     ,     (11.2)

де коефіцієнти А, В, С, Е можуть залежати від х, у і в окремих випадках можуть бути константами. Для класифікації ДР в частинних похідних вводиться термін дискримінант рівняння: Д = АС – В² . Залежно від знака дискримінанта Д, лінійне диференційне рівняння (11.2) можна віднести до одного з таких типів:

якщо Д > 0, то рівняння (11.2) відноситься до еліптичного;

якщо Д = 0, то рівняння (11.2) відноситься до параболічного;

якщо Д < 0, то рівняння (11.2) відноситься догіперболічного.

У наступних розділах розглянемо приклади кожного з трьох типів рівнянь з відповідними граничними умовами і розглянемо для них чисельні методи розв’язання. Слідує відмітити, що еліптичні рівняння описують установлені процеси (стаціонарні), а гіперболічні та параболічні рівняння описують еволюційні процеси.