8.2 Метод Чебишева

На відміну від методу Ньютона-Котеса, в якому коефіцієнти H_i (i=1,N) знаходять у фіксованих вузлах інтерполяції, П.Л. Чебишев запропонував для обчислення визначених інтегралів використати формулу

     ,     (8.2)

в якій квадратурні коефіцієнти С_i (і=1,2,…,N) зафіксовані, а абсциси x_i (і=1,2,…,N) підлягають визначенню. Для простоти обчислень необхідно вибрати С₁=С₂=…=С_n. Розглянемо спочатку частинний випадок, коли межі інтегрування дорівнюють –1 та 1. Тоді попередня формула набере вигляду

     ,     (8.3)

де квадратурні коефіцієнти С_n та абсциси x_i підлягають визначенню.

Коефіцієнти С_i та вузли інтерполяції x_i визначимо із умови, що ця рівність є точною для випадку, коли f(х) - багатогочлен вигляду

          (8.4)

Підставимо багаточлен (8.4) у ліву частину (8.3) та проінтегруємо:

          (8.5)

У праву частину рівності (8.3) підставимо значення многочлена (8.4) у вузлах х₁, х₂, …,х_n:

          (8.6)

Тоді формула (8.5) буде мати вигляд

     (8.7)

Отримана рівність повинна виконуватися за будь-яких значень а_o,а₁,…,а_n і таким чином, порівнюючи коефіцієнти а_i в правій і лівій частинах (8.7) знаходимо, що nC_n=1, звідки

          (8.8)

i, крім цього,

    

    

          (8.9)

    

    

    

Підставляючи знайдене для С_n виразу в співвідношення (8.5) отримаємо формулу Чебишева:

          (8.10)

де точки x₁,…,x_n визначаються із системи рівнянь (8.9).

Значення x₁,…,x_n для різних n відомі та представлені в таблиці 8.2.

Таблиця 8.2 - Значення абсцис для різної кількості точок

Число ординат	Значення абсцис
n=2	-x1=x2=0.577350
n=3	-x1=x3=0.707107; x2=0
n=4	-x1=x4=0.794654; -x2=x3=0.187592
n=5	-x1=x5=0.832498; -x2=x4=0.374541; x3=0
n=6	-x1=x6=0.866247; -x2=x5=0.422519; -x3=x4=0.266635
n=7	-x1=x7=0.883862; -x2=x6=0.529657; -x3=x5=0.323912; x4=0

Коли межі даного інтеграла відрізняються від –1 та 1 , формула Чебишева матиме вигляд

     ,     (8.11)

де

     .     (8.12)

а x_i мають вказані в таблиці значення.

8.3 Метод Гауса

Для отримання підвищеної точності для чисельного інтегрування користуються формулою Гауса

     ,     (8.13)

в якої не фіксуються не тільки вузли інтерполяції x₁, x₂,…,x_n, а й квадратурні коефіцієнти С₁,…,С_n. При цьому Z_n невідомих величин x₁,…,x_n; С₁,…,С_n визначається із умови, що формула є точною у випадку будь-якого багаточлена 2n-1.

Таким чином, для будь-якого багаточлена (2n-1)-й степеню

          (8.14)

повинна виконуватися рівність:

     .     (8.15)

Багаточлен f(x) степеню 2n-1 можна показати у вигляді

     f(x)=F(x)Q(x)+R(x) ,                         (8.16)

де F(x)-шуканий багаточлен n-ї степені, а Q(x) та R(X)- відповідно частинне ділення f(x) на F(x) та залишок від цього ділення, степінь багаточленів Q(x) та R(x) не перевищують (2n-1).

Вираз для F(x) можна записати так:

          (8.17)

тут величини x₁,…,x_n - шукані абсциси формули Гаусса, а А₁,А₂,…,А_n - постійні.

Оскільки шукана функція F(x) у вузлах x₁,…,x_n перетворюється на нуль, то

          (8.18)

               (8.19)

Але для багаточлена R(x) степеню не вище n-1 також повинна виконуватися рівність:

          (8.20)

Bіднімаючи (8.20) від (8.19),отримаємо

    

Із останнього відношення можна визначити шукану функцію F(x). Оскільки ця рівність справедлива для якого-небудь багаточлена Q(x) степеню n-1

     ,      (8.21)

     то при будь-яких коефіцієнтах маємо таку систему рівнянь:

          (8.22)

Підставляючи в (8.22) вирази для F(x) із формули (7.2 ) та інтегруючи, отримаємо для визначення коефіцієнтів А₁, … А_n систему n рівнянь

     (8.23)

    

з яких видно, що А₁=А₃=А₅=А₇=…=0 та, отже, шуканий многочлен має вигляд:

          (8.24)

Відмітимо, що при парному n корені рівняння F(x)=0 попарно рівні за абсолютним значенням, але протилежні за знаком, а при непарному n коренем є також і х=0.

Визначивши із системи (8.23) коефіцієнти А_і (і=1,2,…,n), складемо рівняння F(x)=0 та знайдемо його корені х₁,…,х_n, тобто шукані абсциси формули Гаусса, а потім обчислимо коефіцієнти С_i (і=1,2,…,n) за формулою

          (8.25)

Приклад 1. Побудувати квадратурну формулу Гаусса для випадку n=2 на відрізку інтегрування [-1, 1].

Розв‘язок. Загальний вигляд квадратурної формули Гаусса при n=2 та заданих межах інтегрування:

     ,

де підлягають визначенню квадратурні коефіцієнти с₁ та с₂, а також абсцис х₁ та х₂.

Для визначення абсцис складемо многочлен , коефіцієнти А₁ та А₂ якого знайдемо із системи вигляду (8.22)

підстановкою багаточлена F(x) у систему. Маємо

     ; ,

тобто А₁=0, А₂ =-1/3. Тоді , звідки

     та

Коефіцієнти с₁ та с₂ обчислимо за формулою (8.25)

     ;

     Отже,          

Для обчислення інтеграла загального вигляду слід замінити змінні

     , (i=1,2,….,n)     (8.26)

Тоді формула Гаусса прийме вигляд

    

Значення квадратурних коефіцієнтів Гаусса с_і (і=1,2...n) та абсцис х_і (і=1,2...n) наведені в таблиці 8.3.

Таблиця 8.3 – Значення квадратурних коефіцієнтів Гаусса

n=1	x1=0,5	с1=2
n=2	-x1=x2=0,577350	с1=с2=1
n=3	-x1=x3=0,774597, x2=0	с1=с3=0,555555, с2=0,888889
n=4	-x1=x4=0,861136, -x2=x3=0,339981	с1=с4=0,347855, с2=с3=0,652145
n=5	-x1=x5=0,906180, -x2=x4=0,538470	с1=с5=0,236927, с2=с4=0,478629
n=6	-x1=x6=0,932470, -x2=x5=0,661210, -x3=x4=0,238620	с1=с6=0,171324, с2=с5=0,360761, с3=с4=0,467914
n=7	-x1=x7=0,949108, -x2=x6=0,741531, -x3=x5=0,405845, x4=0	с1=с7=0,129485, с2=с6=0,279705, с3=с5=0,381830, с4=0,417960
n=8	-x1=x8=0,960290, -x2=x7=0,796666, -x3=x6=0,525532, x4=0,183434	с1=с8=0,101228, с2=с7=0,222381, с3=с6=0,313707, с4=с5=0,362684,