4.3.4 Комбінований метод

Методи хорд і дотичних дають наближення кореня з різних сторін відрізку . Тому їх часто використовують в поєднанні один з одним, і процес уточнення кореня нелінійного рівняння (4.1) проходить скоріше.

Постановка задачі

Нехай дано рівняння (4.1) , де неперервна нелінійна функція, яка на відрізку монотонна, диференційована і має єдиний корінь (тобто ). Потрібно знайти наближене значення кореня з заданою похибкою .

Використаємо комбінований метод хорд і дотичних з урахуванням поведінки функції на відрізку . Якщо f'(x)Чf''(x)>0, то метод хорд дає наближення кореня з недостачею, а метод дотичних – з залишком (рис.4.16.а,б). Якщо ж f'(x)Чf''(x)<0, то методом хорд отримуємо значення

    

     Рисунок 4.16 – Геометричний зміст комбінованого методу

методом дотичних – з недостачею (рис.4.16.в,г). Однак в усіх випадках справжній корінь знаходиться між наближеними коренями, які отримані за методом хорд і методом дотичних, тобто виконується нерівність а< х_n < x < х_n<b, де х_n – наближене значення кореня з недоліком, `- з надлишком.

Суть методу полягає в тому, що на досить малому відрізку (отриманому при відокремлені коренів) дуга функції з одного кінця відрізка стягується хордою, а з другого – дотичною. Тобто, якщо сумістити обидва методи, то після знаходження коренів відрізок на кожному кроці ітерації звужується шляхом переносу кінців відрізка в точки перетину хорди та дотичної з віссю .

Наближене значення кореня нелінійного рівняння визначається відповідно до таких правил:

Правило 1. Якщо добуток першої на другу похідну функції більший за нуль: , (рис. 4.16 а, б) то рухомим для методу хорд є кінець a, і наближене значення кореня з боку кінця a обчислюється за формулою хорд:

     .     (4.14)

Для методу дотичних рухомим є кінець , і наближене значення кореня обчислюється за формулою дотичних:

     .     (4.15)

Правило 2. Якщо добуток першої на другу похідну функції менший за нуль: (рис. 4.16 в, г), то рухомим для методу хорд є кінець b, і наближене значення кореня з боку кінця b обчислюється за формулою хорд:

     .     (4.16)

Для методу дотичних рухомим є кінець a, і наближене значення кореня обчислюється за формулою дотичних:

     .     (4.17)

Комбінований метод дуже зручний при оцінці похибки обчислень. Ітераційний процес продовжується доти, поки не стане виконуватися нерівність . За наближене значення кореня приймають , де і – наближені значення кореня відповідно з недостачею та з надлишком.

Схема алгоритму методу представлено на рисунку 4.17.

    

     Рисунок 4.17– Схема алгоритму розв'язання нелінійного рівняння комбінованим методом

 

4.3.5 Метод ітерацій (метод послідовних наближень)

Суть методу полягає у заміні початкового рівняння

          (4.18)

еквівалентним йому рівнянням

     ,     (4.19)

Постановка задачі

Нехай задано рівняння , де – неперервна нелінійна функція. Потрібно визначити корінь цього рівняння, який знаходиться на відрізку з заданою похибкою .

Виберемо довільним способом і підставимо його в праву частину рівняння (4.18); тоді отримаємо . Потім це значення підставимо знову в праву частину рівняння (4.19) і отримаємо (рис. 4.18 а,б). Повторюючи цей процес, отримаємо послідовність чисел . При цьому можливі два випадки:

  послідовність збігається, тобто має границю, і тоді ця границя буде коренем рівняння (4.18).

  послідовність розбігається, тобто не має границі.

Приведемо без доказу теорему, яка виражає умову, при якій ітераційний процес розв’язку нелінійного рівняння методом ітерацій на ЕОМ збігається.

    

     Рисунок 4.18 Геометрична інтерпретація методу ітерацій

Теорема. Нехай на відрізку знаходиться єдиний корінь рівняння та у всіх точках цього відрізку похідна задовольняє нерівності . Якщо при цьому виконується і умова , то ітераційний процес збігається, а за нульове наближення можна взяти число з відрізку .

Розв’яжемо один етап ітерацій. Виходячи із заданого на попередньому кроці значення , обчислюємо . Якщо , покладемо і виконаємо наступну ітерацію. Якщо ж , то обчислення закінчують, за наближене значення кореня приймають величину .

При використанні методу простих ітерацій основною операцією є вибір функції в рівнянні , яку слід підібрати так, щоб і швидкість сходження послідовності до кореня тим вища, чим менше число . Схема алгоритму метода ітерацій представлена на рисунку 4.19.

    

     Рисунок 4.19 – Схема алгоритму розв'язання нелінійного рівняння методом ітерацій

Таким чином, необхідна точність буде досягнута, якщо виконується нерівність |х_n – x_{n - 1} | 0,00002. За нульове наближення можна прийняти будь-який із кінців відрізка (-0,725; -0,7) і будь-яку точку усередині нього. Нехай х₀= -0,7. Обчислення зводимо в наступну таблицю: