7.1 Основні поняття та визначення

Розглянемо функцію f(x), що визначена на відрізку [a,b]. Функція, що диференціюється на відрізку [a,b] функцією F(x), похідна якої в кожній точці [a,b] дорівнює f(x), називається первісною функції f(x) та записується як:

F’(x)= f(x).

Так як (F(x)+С)’=F’(x)=f(x) для будь-якої сталої С, то можна говорити про множину первісних – множину функцій виду F(x)+С. Множина первісних F(x)+С функції f(x) називається невизначеним інтегралом функції f(x) і позначається :

,

де F(x)+С – значення невизначеного інтегралу, тобто множини первісних функції f(x):

( )’=(F(x)+С)’= f(x).

Розглянемо функцію f(x), що визначена на відрізку [a,b]. Розіб’ємо відрізок [a,b] на n довільних частин точками a=x₀< x₁< x₂<…< x_n-1< x_n=b

і позначимо      i=1,...,n, .

На кожному відрізку [x_i-1, x_i ] візьмемо довільну точку _i і обчислимо в неї значення функції f(x). Вираз

називається інтегральною сумою функції f(x). Якщо при існує границя , не залежна ні від способу розбиття відрізку [a,b] точками x_i, i=1,2,…,n-1, ні від вибору точок _i (x_i1, x_i), то ця границя називається визначеним інтегралом від функції f(x) на відрізку [a,b] , а саму функцію – інтегрованою на [a,b], та позначають як

Розглянемо геометричний зміст визначеного інтегралу: якщо f(x)>0, то дорівнює площі фігури , обмеженої графіком функції, віссю абсцис і прямими і (рис.7.1).

    

     Рисунок 7.1 – Геометричний зміст інтегралу.

В основу чисельного інтегрування покладене наближене обчислення площини під кривою, яка описується підінтегральною функцією інтеграла виду

     .

Розглянемо загальний підхід до розв'язування цієї задачі на ЕОМ.

Визначений інтеграл І являє собою площину, обмежену кривою f(x), віссю х та прямими х = a; х = b (рис.7.1).

Чисельне інтегрування основане на тому, що відрізок інтегрування [a,b] розбивають на n менших відрізків [x_i-1, x_i ] , кожен з яких є основою геометричної фігури, площу якої знаходять наближено як S_i, а значення інтегралу І визначають як суму таких площин S_i, тобто

     .

При цьому використовують два способи розбиття відрізка інтегрування на менші :

1.  Розбиття відрізка інтегрування проводиться раніше аналізу результатів інтегрування, до того ж завжди відрізки вибирають рівними (метод прямокутників, трапецій, Сімпсона);

2.  Місцезнаходження та довжина відрізків визначаються з умови досягти найбільшої точності чисельного інтегрування з заданим числом відрізків, а потім відповідно з цим визначають їхні межі (метод Гаусса, Ньютона-Котеса, Чебишева ).

7.2 Чисельні методи знаходження визначеного інтегралу

Розглянемо відомі чисельні методи знаходження визначених інтегралов на ЕОМ.

7.2.1 Метод прямокутників

Найпростіший метод наближеного обчислення інтеграла на ЕОМ є метод прямокутників, суть якого зводиться до знаходження визначеного інтегралу як суми площ N прямокутників (з висотою f(x) та основою ), отриманих шляхом розбиття відрізка інтегрування [а, b] на N рівних частин. В цьому випадку розділити на прямокутники можна або зліва на право (рис.7.2,а), тоді отримаємо формулу лівих прямокутників (7.1), або справа наліво (рис.7.2,б), тоді отримаємо формулу правих прямокутників (7.2):

     (7.1)

    

     Рисунок 7.2 – Геометрична інтерпретація методу прямокутників

     (7.2)

Схема алгоритму обчислення визначеного інтегралу методом прямокутників показана на рис. 7.3.

    

     Рисунок 7.3 – Схема алгоритму методу прямокутників