9.4.2 Метод Адамса - Башфорта
Цей метод також має четвертий порядок точності. Формула, що використовується в ньому отримана інтегруванням оберненої інтерполяційної формули Ньютона і має вид
(9.41)
На етапі корекції використовується формула
(9.42)
Розрахунки по методу Адамса - Башфорта виконуються так як і по методу Мілна, але на відміну від останнього похибка, внесена на якому-небудь кроці, не має тенденції до експоненціального росту.
Можна припустити, що так як величина відкиненого члену відома, то її можна використовувати для уточнення скоректованого значення залежної змінної. Так як внесення поправок в корегуючий член може негативно вплинути на стійкість рахунку, то для підвищення точності рахунку слід використовувати методи більш високих порядків точності.
9.4.3 Метод Хемінга
В методі Хемінга використовуються наступні формули:
(9.43)
уточнення прогнозу
(9.44)
(9.45)
корекції
(9.46)
Це стійкий метод четвертого порядку точності, в основі якого лежать наступні формули прогнозу:
(9.47)
і корекції
(9.48)
Особливістю методу Хемінга є те, що він дозволяє оцінювати похибки, що вносяться на стадіях прогнозу і корекції і усувати їх. Завдяки простоті та стійкості цей метод є одним з найбільш поширених методів прогнозу і корекції.
Лекція № 10
ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ'ЯЗАННЯ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ
10.1 Чисельні методи розв’язання крайових задач
Як зазначалося вище, задача, що заключається в розв’язку звичайного диференційного рівняння при додаткових умовах, що поставлені при декількох значеннях незалежної змінної, називається крайовою.
Розглянемо звичайне диференційне рівняння другого порядку
(10.1)
при граничних умовах
(10.2)
Рівняння більш високих порядків можна вирішувати тими ж методами, які поділимо на дві групи:
1. Методи, основані на заміні розв’язку крайової задачі розв’язком декількох задач Коши.
2. Методи, в яких використовується кінцево-різницева форма диференціального рівняння.
10.1.1 Методи стрільби
Якщо звичайне диференційне рівняння другого порядку є лінійним, тобто має вигляд
(10.3)
при додаткових умовах
(10.4)
то крайову задачу можна звести до задачі Коши за допомогою початкових умов
і
Знайшовши
розв’язок
можна
поставити другі граничні умови
і
і отримати
другий розв’язок
.
Якщо
а
при
чому
то
розв’язок
(10.5)
задовольняє обом початковим граничним умовам.
Якщо вирішується нелінійне звичайне диференційне рівняння, то розв’язок крайової задачі можна звести до розв’язку декількох задач Коши, послідовно вводячи в початкові умови значення :
(10.6)
і прагнучи
найти розв’язок, який задовольняє умову
При
цьому може допомогти інтерполяція, що
дозволяє побудувати впорядковану
послідовність
і
звести до мінімуму об’єм обчислень.
10.1.2 Кінцево-різницеві методи
Перевага кінцево-різницевих методів в тому, що вони дозволяють звести розв’язок крайової задачі до розв’язку системи алгебраїчних рівнянь. При розв’язку двоточкової крайової задачі
,
(10.7)
при
і
інтервал
можна
розділити на n рівних частин:
,
(10.8)
де
а
В
точках
,
що називаються вузлами, намагаються
найти значення розв’язок
.
Знаючи координати вузлів користуючись
кінцево-різницевими виразами для
похідних
(10.9)
(10.10)
можна представити диференціальне рівняння у виді різницевого рівняння.
а) якщо початкове ЗДР лінійне, то задача буде складатися з розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь;
б) якщо початкове ЗДР нелінійне, то задача зводиться до розв’язування системи нелінійних алгебраїчних або трансцендентних рівнянь;
в) методи, алгоритми та програми розв’язування таких лінійних та нелінійних рівнянь відомі, але звести розв’язування крайової задачі методом кінцевих різниць до стандартної програми важко, оскільки формулювання кожної задачі залежить від вигляду рівняння, що розглядається.
Приклад
10.1. Нехай
потрібно вирішити диференціальне
рівняння
при
умовах
і
і
кроці h=0.2.
В різницевій формі це рівняння має вид
Використовуючи цю формулу і граничні умови можна виписати наступну систему чотирьох лінійних рівнянь з чотирма невідомими:
