9.4 Методи прогнозу і корекції (багатоточкові методи)
В методах прогнозу і корекції для обчислення значення нової точки розв‘язку ДР використовується інформація про декілька раніше отриманих точок відрізку дослідження. Для цього використовуються дві формули, що називаються відповідно формулами прогнозу і корекції. Схеми алгоритмів для всіх таких методів майже однакові, а самі методи відрізняються лише формулами. На рис. 9.15 представлена схема алгоритму методу прогнозу і корекції для розв’язку диференціального рівняння виду:
(9.35)
Рисунок 9.15 – Схема алгоритму багатоточкового методу
Розглянемо особливості алгоритмів методів прогнозу і корекції.
Так як
в методах, що розглядаються використовується
інформація про декілька раніше отриманих
точок, то на відміну від однокрокових
методів вони не володіють властивістю
„самостартування”. Тому, перед тим як
застосовувати метод прогнозу і корекції,
необхідно обчислювати вихідні данні
за допомогою якого-небудь однокрокового
методу. Часто для цього використовують
метод Рунге-Кутта. Обчислення проводять
наступним чином. Спочатку по формулі
прогнозу і початковим значенням змінних
знаходять значення
.
Верхній індекс (0) означає, що прогнозоване
значення є одним з послідовності значень
,
що розташовані в порядку зростання
точності. По прогнозованому значенню
за
допомогою приведеного вище диференціального
рівняння знаходять похідну
(9.36)
яка
потім підставляється у формулу корекції
для обчислення уточненого значення
.
В свою
чергу
використовується
для отримання більш точного значення
похідної за допомогою диференціального
рівняння
.
(9.37)
Якщо це
значення похідної недостатньо близьке
до попереднього, то воно вводиться у
формулу корекції й ітераційний процес
продовжується. Якщо ж похідна змінюється
в допустимих границях, то значення
використовується
для обчислення остаточного значення
,
яке і видається на друк. Після цього
процес повторюється – здійснюється
наступний крок, на якому обчислюється
.
Звичайно при вводі формул прогнозу і корекції розв’язок рівняння розглядають як процес наближеного інтегрування, а самі формули отримують за допомогою кінцево-різницевих методів.
Якщо
диференціальне рівняння
про
інтегровано в інтервалі значень від
до
,
то результат прийме вигляд
(9.38)
Цей
інтеграл не можна обчислити безпосередньо,
так як залежність
заздалегідь
невідома. Наближене значення інтегралу
можна знайти за допомогою одного з
кінцево-різницевих методів. Вибір методу
і буде визначати метод розв’язку
диференціальних рівнянь. На етапі
прогнозу можна використовувати будь-яку
формулу чисельного інтегрування, якщо
до неї не входить попереднє значення
.
9.4.1 Метод Мілна
В цьому методі на етапі прогнозу використовується формула Мілна
(9.39)
а на етапі корекції - формула Сімпсона
(9.40)
Останні члени в обох формулах в дійсності в ітераційному процесі не використовуються і слугують лише для оцінки помилки відсічення. Метод Мілна відносять до методів четвертого порядку точності, так як в ньому відкидаються члени, які містять h п’ятій степені і більш високих степенях. Може виникнути питання навіщо потрібна корекція, якщо прогноз дає четвертий порядок точності. Відповідь на це питання дає оцінка відносної величини членів, що виражають похибку. В даному випадку похибка відсічення при корекції в 28 разів менше і тому представляє великий інтерес. Незважаючи на те що формула Мілна містить менший числовий коефіцієнт (1/90) перед членом, що відкидається, її використовують рідше, ніж інші (з більшими відкидуваними членами), так як їй притаманна нестійкість. Це означає, що похибка поширення може рости експоненціально, при чому цей висновок справедливий для всіх формул корекції, основаних на правилі Сімпсона.