Лекція №6 Апроксимація табличних функцій
6.1 Апроксимація табличних функцій
Інженеру звичайно приходиться працювати з великими масивами даних, тому методи обробки числових даних мають для нього особливе значення. Часто шляхом к правильному розумінню багатьох задач служить продумане уявлення початкових даних. До речі невдале уявлення експериментальних даних буває причиною помилок в розв’язанні складних задач.
Для того щоб отримати аналітичні залежності, що описують великі масиви даних, використовують методи апроксимації, які основані на тому, що масив даних замінюють простою функцією (лінійною або квадратичною або кубічною або іншою), яка не обов’язково проходить через всі експериментальні точки, але описує тенденції зміни цих даних та забезпечує мінімум суми квадратів відхилень експериментальних даних від цією функції.
Постановка задачі
Припустимо,
що в результаті інженерного або наукового
експерименту отримана система точок
.
Необхідно знайти аналітичну залежність
,
таку, яка найкращим чином описує задану
систему точок. Поняття "найкращим
чином" означає розв’язання задачі
по заданому критерію. Найбільш відомим
критерієм для задач апроксимації є
критерій середньоквадратичних
відхилень (СКВ),
який являє собою мінімізацію суми
квадратів відхилень експериментальних
даних від аналітичної функції
і
визначається на заданій множині точок
як
.
Однак при такій постановці задача апроксимації експериментальних даних має багато розв’язків. Для отримання єдиного розв’язку цієї задачі потрібно задавати значення певного вигляду, наприклад:
степеневим поліномом
;
(6.1)
тригонометричним поліномом
;
(6.2)
ортогональним поліномом
;
(6.3)
сплайн-функцією та інш.
6.1.1 Апроксимація табличних функцій степеневими поліномами
Розглянемо загальні математичні моделі, які можна отримати при апроксимації табличних функцій степеневим поліномом.
Постановка задачі
В
результаті інженерного або наукового
експерименту отримана система точок
.
Необхідно знайти степеневий поліном
виду:
,
(6.4)
такий,
щоб сума квадратів відхилень полінома
від
заданої системи експериментальних
точок була би мінімальною. Така задача
зводиться до визначення коефіцієнтів
поліному
.
Метод, що дозволяє розв’язати її
називається методом
найменших квадратів (МНК).
Критерій середньо квадратичного
відхилення (СКО) в даному випадку має
вигляд:
(6.5)
Розглянемо рисунок 6.1.
Рисунок 6.1 - Геометрична інтерпретація апроксимації табличної функції
З нього видно, що
,
,
...,
,
тому вираз (6.5) можна представити в вигляді:
Очевидно,
що функція E
- це багато параметрична функція на
множині
,
.
Мінімуму такої функції знаходиться при
виконанні умови виду:
(6.6)
Підставимо
в (6.6) заміст функції
-
вираз
,
та заміст
з
(6.4) підставимо поліном і визначимо
частинні похідні в виразу (6.6) по кожному
коефіцієнту
.
В результаті отримуємо систему рівнянь
виду:
В даної системі розкриємо дужки та спростимо кожне рівняння системи окремо. В результаті отримаємо систему виду:
(6.7)
Система
рівнянь (6.7) представляє собою систему
лінійних алгебраїчних рівнянь відносно
коефіцієнтів поліному
,
які необхідно знайти, щоб визначити
аналітичну залежність, яка описує
експериментальний масив даних. Дану
систему можна записати у матричному
вигляді:
Для
розв’язання такої системи на ЕОМ
необхідно розробити спеціальний алгоритм
та підпрограму для формування її матриці
коефіцієнтів та вектора вільних членів
з використанням експериментальних
даних, які задані таблицею. На рисунку
6.2 представлений алгоритм формування
системи лінійних алгебраїчних рівнянь
(6.7) запропонований Делем В.Д. В ньому
система (6.7) формується з метою зменшення
кількості обчислювальних операцій
(наприклад операції обчислення степеня),
для цього введені допоміжні змінні та
масиви
і
D.
Зміна
-
містить поточне значення
;
-
поточне значення
;
-
множник, який багаторазово змінюється
в процесі обчислення;
-
допоміжний масив із
дійсних
чисел, який являє собою суми
(
),
що входять в кожне рівняння системи:
,
,
...,
,
...,
-
масив із
дійсних
чисел, які являють собою суми вектора-стовпця
вільних членів системи рівнянь (6.7) і
визначають за допомогою допоміжних
змінних
та
:
,
,
,
Розв‘язувати таку систему можна будь-яким з відомих методів розв‘язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь, наприклад методом Гауса. Однак задача апроксимації на цьому етапі не завершується. Схема алгоритму побудови СЛАР методом Деля В.Д (6.7). представлена на рисунку 6.2.
Рисунок 6.2– Схема алгоритму побудови СЛАР методом В.Д. Деля
Якщо
для заданого степеня
поліному
в
результаті розрахунків на ЕОМ отриманий
поліном не відповідає заданої похибки
обчислень
,
то необхідно збільшити ступень поліному
на 1 (тобто степінь полінома буде
),
при цьому на одиницю збільшується
кількість коефіцієнтів поліному
(додається новий член степеневого
поліному), які необхідно знову
розраховувати. При цьому розмір системи
(6.7) збільшується на 1, і для визначення
нових коефіцієнтів
необхідно
знову розв’язувати систему (6.7) методом
Гауса. Цей процес повторюється до тих
пір, поки не виконається умова
,
(6.8)
де - задана похибка отриманих результатів.
Схема алгоритму апроксимації функцій, заданих таблицею, методом найменших квадратів представлена на рисунку 6.3.
Рисунок 6.3 – Схема алгоритму апроксимації функцій, заданих таблицею, методом найменших квадратів