2.3.5 Метод Гауса-Жордана

Особливістю метода Гауса-Жордана є перетворення системи (2.1) (прямий хід) до еквівалентної з одиничною матрицею коефіцієнтів виду:

     ,          (2.41)

тобто системи, яка містить тільки одиничну діагональ.

Для отримання такої системи в прямий хід алгоритму базового методу Гауса (з послідовним виключенням невідомих) додатково вводяться такі дії:

1. Організація циклу по k по всім рівнянням від 1 до N -1 (k = 1, 2, …, N-1).

2. Процедура вибору головного елементу в кожному k-му стовпці при ;

3. Процедура нормування k-го рівняння системи, тобто в k-му рівнянні кожен коефіцієнт a_{k j} розділити на , включаючи , так, щоб коефіцієнт =1.

4. Перетворення всіх рівнянь системи, починаючи з 1-го до N у відповідності з базовим алгоритмом Гауса з метою отримати еквівалентну систему з одиничною діагоналлю. В даному випадку для розрахунку коефіцієнтів a_{i j} використовуються ті самі формули, що і в базовому алгоритмі Гауса:

; ; ,

але використовуються вони для всіх рівнянь з 1-го до N крім k-го, в якому остається коефіцієнт рівний одиниці.

5. Кінець циклу по k.

Обернений хід методу Гауса-Жордана дуже простий і використовує наступні формули:

x k=b k , при k=1,2,…,n.

Схема алгоритму методу Гауса-Жордана представлена на рисунку 2.6.

    

     Рисунок 2.6. – Схема алгоритму методу Гауса-Жордана     

Лекція №3 наближені методи розв'язання слар на еом

 

3.1 Постановка задачі та класифікація методів

До наближених методів відносяться методи, які дозволяють розв’язок системи отримати як границю послідовних k розв’язків системи (2.1) при виду:

,                         (3.1)

де - вектор розв’язку 0-го наближення,      - вектор розв’язку 1-го наближення і т.д., - вектор розв’язку к-го наближення.

Для розв’язання СЛАР наближеними методами найбільшу цікавість представляють такі методи:

  метод послідовних наближень;

  метод Гауса-Зейделя;

  метод верхньої релаксації.

Розглянемо особливості загального підходу до розв’язання СЛАР наближеними методами.

3.2 Загальний підхід до розв’язання слар наближеними методами

Розглянемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь виду:

                    (3.2)

Для розв’язання системи (3.2) методами послідовних наближень необхідно виконати наступні кроки:

1) Кожне рівняння системи розділити на діагональний елемент а_kk, де k=1,2...n, n – кількість рівнянь в системі, і перетворити кожне рівняння системи відносно координат вектора, індекс якого співпадає з номером рівняння:

          (3.3)

     2) Нехай , а , де k=1,2…n; i=1,2…n. Тоді система (3.3) матиме вигляд:

               (3.4)

Така система називається зведеною до нормального вигляду.

     3) Представимо систему (3.4) в матричному вигляді:

,     (3.5)

або векторному

.                         (3.6)

Якщо деяким чином визначити, так званий, вектор початкових значень , який знаходиться в правій частині (3.6), то можна отримати певні значення вектора .

В якості вектора початкових наближень вибирають:

  вектор, в якого всі координати х_і дорівнюють 0;

  вектор, в якого всі координати х_і дорівнюють 1;

  вектор, координати якого дорівнюють координатам вектора вільних членів ;

  координати вектору вибирають в результаті аналізу особливостей об’єкту дослідження та задачі, яка розв’язується.

4) Якщо вектор початкових наближень підставити в праву частину системи (3.5) або (3.6), то вона прийме вигляд:

aбо ,

легко розв’язується, тому що в правої частині містить всі визначені елементи, і дозволяє отримати розв’язок системи, який називається вектором першого наближення .

5) Перевіряється виконання умови закінчення ітераційного процесу пошуку розв’язку системи (3.2) виду:

                         (3.7),

де - задана похибка результатів розв’язання задачі.

Якщо умова (3.7) не виконується, то підставляється в праву частину (3.5) або (3.6) і знаходиться з системи виду:

aбо .

6) Знову перевіряється виконання умови закінчення ітераційного процесу пошуку розв’язку системи (3.2)

.

Якщо умова не виконується, то підставляється в праву частину (3.5) і знаходиться з системи виду:

.

і т.д.

7) Етапи 4 та 5 повторюються до тих пір поки на якому-небудь к - ому кроці не виконується умова

.                    (3.8)

Таким чином, процес пошуку розв’язку системи (3.2) наближеними методами з заданою похибкою є ітераційним, а умовою виходу з цього процесу є умова (3.8).