11.1 Різницеві методи розв'язування диференційних рівнянь у частинних похідних

Класичне визначення похідної функції однієї змінної записується у вигляді

.

Природно, в ЕОМ не можна зробити граничного переходу. З іншого боку, можна додати деяке мале, хоча і ненульове, значення h і спробувати перевірити, що наближення виходить досить точним (проблема точності) і що помилка не зростає в ході процесу обчислень (проблема стійкості), тобто цей метод зводиться до того, що похідну заміняємо різницею.

Оскільки тепер є дві незалежні змінні, то обидві вони повинні брати участь у різницевому рівнянні. Розглянемо спочатку різниці в напрямку х.

Розклад функції в ряд Тейлора в околі точки ( , ) можна записати у вигляді:

де лежить між х і х₀. Якщо тепер представити , то після деяких перетворень одержуємо

Класичне визначення похідної функції однієї змінної можна записати:

.

Очевидно, на ЕОМ неможливо провести граничний перехід. А тому із розкладу функції в ряд Тейлора в околі точки можна наближено записати

          (11.3)

з помилкою обмежування ; .

Вираз (11.3) називають правою різницею, а вираз

          (11.4)

лівою різницею.

Користуючись (11.3) та (11.4), можна отримати різницевий вираз для 2-ї похідної

          (11.5)

і відповідно

     ,     (11.6)

де h, k – величина кроку відповідно за координатами х та у.

Помилка обмеження дорівнює

.

Аналогічно (11.5) і (11.6), можна вивести вираз для . Використовуючи ці вирази, загальновідоме рівняння Лапласа , наприклад, можна записати в кінцевих різницях у вигляді:

          (11.7)

11.2 Етапи чисельного розв'язування диференційних рівнянь (др) у частинних похідних на еом

1. У область розв'язування рівняння, яке розглядається, вводять рівномірну сітку вузлових точок відповідно до характеру задачі і граничних умов.

2. Диференційне рівняння, що розв'язується, записують у найзручнішій системі координат, замінюючи похідні кінцевими різницями (із таб. 11.1), приводять його до вигляду різницевого рівняння. Отримане різницеве рівняння використовують далі для описування функціонального зв'язку між сусідніми вузлами сітки. Тобто різницеве рівняння записують для усіх вузлів сітки і отримують внаслідок цього систему (N-1)(M-1) рівнянь з (N-1)(M-1) невідомими.

3. Систему (N-1)(M-1) рівнянь з (N-1)(M-1) невідомими розв'язують одним із відомих швидких і ефективних чисельних методів, вибір яких визначається деякими властивостями системи рівнянь (наприклад, система лінійних або налінійних рівнянь та ін.).

Помітимо, що рівняння (11.7) можна представити схематично, накресливши п'ять вузлів різницевого рівняння (11.7) і позначивши біля кожного з них відповідний коефіцієнт. Рисунок (наприклад, рис. 11.2) називається різницевою схемою.

    

     Рисунок 11.2 - Різницева схема

Різницева схема геометрично ілюструє різницеву апроксимацію диференціального рівняння. Відомо, що при і різницеве рівняння наближується до диференційного рівняння. Однак цікавить зовсім інше питання: чи наближається при і розв’язок різницевого рівняння до розв’язку диференційного рівняння? Для еліптичних рівнянь на це питання можна дати позитивну відповідь. Далі побачимо що у випадку параболічних і гіперболічних рівнянь прийдеться дотримуватись ряду обмежень, що забезпечать такого роду збіжність.