1.5.2 Статика газів
Статика газів вивчає рівновагу (стан спокою) рідин і газів. Теоретичною базою цього розділу механіки суцільних середовищ є рівняння Ейлера, отримані при складанні балансу сил, що діють на кожен елементарний об’єм рідини чи газу, які знаходяться у спокої. Усі сили, що діють на об’єм газу (рідини), можна поділити на об'ємні і поверхневі. До об’ємних відносяться сили, що діють на кожну частку об’єму: сили ваги і сили інерції. Поверхневі сили діють на одиницю поверхні якогось об’єму. Такими силами є сили тиску і тертя. На будь-який об’єм рідини чи газу, які знаходяться у спокої, діють тільки сили ваги і тиску. Сили інерції і тертя виявляються лише при русі середовища. Тому рівняння Ейлера для статики справедливі для ідеальної і реальної рідини (газу), тому що властивість в'язкості, характерна для реального середовища, виявляється тільки при її русі. У нерухомому об’ємі газу об’ємні сили (сили ваги) діють за вертикаллю, тобто у напрямку координатної осі Z, і викликають відповідну зміну тиску.
Рівняння Ейлера для статики рідин і газів, отримане на основі балансу зміни енергії 1м3 газу за напрямком координатної осі Z, має вид
dP
ρg dZ , (1.153)
де ρ – густина рідини чи газу, кг/м3; g – прискорення сили ваги, м/с2; dP – зміна (приріст) тиску при зміні висоти стовпа рідини чи
газу на величину dZ; dP/dZ – градієнт тиску.
Як випливає з наведеного вище, рівняння (1.153) являє собою баланс енергії, при якому зміна потенційної енергії 1 м3 газу на відрізку dZ (ліва частина рівняння) призводить до відповідної зміни тиску (права частина рівняння).
Якщо рівняння Ейлера (1.153) розв’язувати для будь-яких двох перерізів Z1 і Z2 (рис. 1.29), розташованих на відстані h один від одного, за умови ρ=const (газ як нестислива рідина), то можна отримати основне рівняння статики рідин (газів)
P2 P1 g(Z1 Z2 ) P1 gh, (1.154)
де P1,P2 – абсолютні тиски у перерізах I і II, Па; ρgh – геометричний тиск, обумовлений силою ваги, і залежний
від густини ρ і висоти стовпа h газу, Па;
g – прискорення сили ваги, м/с2;
Z1 і Z2 – відстані від довільно прийнятого рівня відліку 0–0 до
відповідного перерізу I і II, м.
Z
Ox
Рисунок 1.29 – Зміна тиску по висоті стовпа газу
1.5.3 Динаміка газів
При русі газу на кожен його об’єм будуть діяти не тільки ті сили, що характерні для статики, але й інші, що сильно ускладнюють як явище руху в цілому, так і його математичний опис. Для руху ідеального газу цими додатковими силами будуть сили інерції, а для реального газу – сили інерції і тертя (в'язкості). У механіці суцільних середовищ велика увага приділяється виводу і використанню відповідних математичних рівнянь, що описують рух ідеальних (рівняння Ейлера) і реальних середовищ (рівняння Навьє-Стокса). Рівняння Нав’є-Стокса настільки складні, що до теперішнього часу розв’язані лише для вкрай обмеженої кількості випадків. Ця складність викликана сильним впливом в'язкості середовища на різні аспекти процесу руху. Через це в деяких випадках удаються до розв’язання рівнянь Ейлера для руху ідеальних середовищ з уведенням необхідних поправок і уточнень. Таким чином, отримано одне з найважливіших рівнянь гідро- і аеродинаміки – рівняння (закон) Бернуллі.
Рівняння Бернуллі
У практичних умовах вкрай розповсюдженим є рух у трубах і каналах, коли газ через бічні стінки не витрачається. У таких випадках для розрахунків застосовується рівняння Бернуллі, отримане для потоку течії (трубка течії), характерної тим, що витрати газу в будь-якому її перерізі залишаються незмінними (обмін газом між усім потоком і потоком течії через її бічні межі відсутній).
Розглянемо переміщення рідини (краплинній чи пружній)
трубопроводом з перерізом, що змінюється, при відсутності теплообміну з навколишнім середовищем (рис. 1.30). При цьому:
рух газу по каналу є незмінним і нерозривним;
швидкості по перерізу, перпендикулярному осі каналу, є постійними;
зневажається тертя часток газу одна об одну й об стінки каналу;
зміна параметрів за перерізом каналу є малою в порівнянні з їх абсолютними значеннями.
Рідина, так як вона рухається, має кінетичну енергію, що залежить
2/2, де ω – від її маси і квадрата швидкості і визначається вираженням mω швидкість руху. Звичайно кінетичну енергію відносять до маси 1 кг чи до об’єму 1 м3. У першому випадку вона дорівнює ω2/2, у другому – (ω2/2)ρ, де ρ – маса рідини в 1 м3, тобто її густина. На шляху між двома перерізами A і В зміну кінетичної енергії h1 для 1 кг рідини визначають як
22 2
h1 1 , (1.155)
2 2
де ω2 – швидкість у перерізі В, ω1 – швидкість у перерізі A.
Рисунок 1.30 – Адіабатна течія рідини у трубі довільного перерізу
Як і всяке тіло, розглянута рідина має внутрішню (теплову) енергію, яка обумовлена енергією її молекул. Якщо позначити внутрішню енергію рідини в перерізах В і А відповідно u2 і u1, то зміна внутрішньої енергії на шляху АВ для 1 кг складе:
h2 = u2 – u1. (1.156)
Рідина знаходиться під тиском і має так названу енергію тиску, що витрачається на подолання тиску в тому середовищі, куди надходить рідина. Робота, що при цьому виконується, називається роботою проти зовнішніх сил. Визначимо цю роботу на ділянці між перерізами A і В. Нехай Р1 – тиск рідини в перерізі A, а Р2 – у перерізі В. Припустимо, що в перерізах А і В знаходяться невагомі поршні, до яких прикладемо сили, що створюють тиски Р1 і Р2; нехай поршень, розташований у перерізі A, пройде шлях s1 за той час, протягом якого поршень у перерізі В пройде шлях s2. Якщо площі поршнів у перерізах A і В рівні відповідно до f1 і f2, то робота на пройденому ними шляху складе Р1f1s1 і Р2f2s2; якщо при цьому перемістився 1 кг рідини, то f1s1=v1, а f2s2=v2, і кінцева робота буде дорівнювати
h3 = P2v2 – P1v1. (1.157)
Ця робота виконана за рахунок енергії тиску на розглянутому шляху.
На шляху АВ відбувається робота і проти сил ваги. Енергія, що витрачена на подолання цих сил, називається енергією положення і вимірюється відносно якого-небудь фіксованого рівня. Нехай відстань від перерізу АА до цього рівня складає Z1, а до перерізу ВВ – Z2. Тоді енергія положення 1 кг (або його потенційна енергія) у перерізі АА складає Z1g, а в перерізі ВВ – Z2g, де g – місцеве прискорення сили ваги. Таким чином, енергія положення, яку витрачено на подолання сил ваги, складає:
h4 = (Z2 – Z1)g. (1.158)
Отже, зміна внутрішньої енергії і робота на шляху між перерізами A і В складають суму h1+h2+h3+h4. Згідно першого закону термодинаміки
(1.51) ця сума дорівнює кількості тепла q, підведеної ззовні, яка у даному випадку дорівнює нулю, тому що розглядається випадок, коли немає теплообміну з навколишнім середовищем. Таким чином
2 2
0 h1 h2 h3 h4 2 1 u2 u1 P2v2 P1v1 Z2 Z1g . (1.159) 2
Звідки
12 u1 P1v1 Z1g 22 u2 P2v2 Z2g , (1.160)
2 2
а для будь-якого довільного перерізу можна написати (для 1 кг рідини)
2
u Pv Zg H const . (1.161) 2
Рівняння (1.161) називається узагальненим рівнянням Бернуллі, чи рівнянням енергії, а Н – напором 1 кг рідини. Воно показує, що енергія потоку в будь-якому перерізі – величина постійна. Як видно, рівняння Бернуллі являє собою математичне вираження першого закону термодинаміки для потоку рідини.
При виводі рівняння (1.161) рух рідини розглядався без урахування тертя. Але прийняття в розрахунок тертя не змінює загального положення про постійність енергії в будь-якому перерізі.
Рівняння нерозривності
На практиці найбільш розповсюдженими є такі процеси, при яких маса газу, що протікає по якомусь об’єму, залишається незмінною. При цьому, природно, маса газу, що втікає в об’єм за одиницю часу, повинна бути дорівнювати масі газу, що витікає.
Отже, можна написати, що m1=m2 чи, з огляду на те, що маса є добуток швидкості, перерізу потоку і густини
ω1f1ρ1=ω2f2ρ2. (1.162)
За умови постійності густини (для нестисливих середовищ, для яких ρ1=ρ2) останнє рівняння набуде виду
ω1f1=ω2f2, або ω1/ω2 =f2/f1. (1.163)
Тобто швидкість потоку обернено пропорційна площі перерізу каналу. Якщо канал звужується, то швидкість буде збільшуватися; якщо канал розширюється, то швидкість буде зменшуватися.
Розглянемо тепер витікання газоподібного тіла, у якого зі зміною тиску змінюється питомий об’єм, тобто змінюється густина, і газ являється стисливим, що відрізняє його від краплинної рідини, у якої зі зміною тиску питомий об’єм практично не змінюється. Об’єм V газу, що витікає за 1 секунду у середовище з постійним тиском Р2 являє собою циліндр з основою, рівною перерізу f в усті насадки, і висотою, рівною швидкості ω, так що об’єм V газу, який витікає за одиницю часу, складає
V = fω. (1.164)
Якщо масова витрата газу дорівнює M, то V = Mv2 і
Mv2= fω, (1.165)
де v2 – питомий об’єм газу на виході із сопла.
Якщо в якості швидкості прийняти середню швидкість потоку ω, то рівняння (1.164) можна застосовувати для практичних розрахунків при течії в трубах і каналах, причому середня швидкість потоку визначається як відношення секундної об’ємної витрати середовища V, що проходить через даний переріз, до величини площі перерізу, тобто
ω=V/f. (1.166)
Рівняння (1.166) називають рівнянням нерозривності. Воно справедливо для будь-якого поперечного переріза каналу. З нього одержуємо рівняння для розрахунку площі перерізу
V Mv2 . (1.167)
f
Як видно, розмір перерізу у протилежних напрямках впливає на питомий об’єм і швидкість, значення яких під час руху газу змінюються.
Розглянемо залежність статичного тиску газу від швидкості. Рівняння (1.159) можна записати в наступному виді
0 22 12 h2 h1 Z2 Z1g , (1.168) 2
де h=u+Pv.
Якщо вважати, що газ рухається в горизонтальному напрямку, або рівні Z1 і Z2 майже не змінюються, то можна вважати, що Z1=Z2. Тоді ми отримуємо рівняння першого закону термодинаміки для адіабатної течії потоку газу наступного виду
0 22 12 h2 h1, (1.169)
2
або в диференціальному виді
0 = dh + ωdω. (1.170)
Рівняння першого закону термодинаміки в диференціальному виді для загального випадку адіабатного процесу
0 = dh – v dP. (1.171)
Прирівняємо праві частини рівнянь (1.168) і (1.169). Тоді отримуємо наступне рівняння
– v dP = ωdω. (1.172)
З рівняння (1.172) видно, що швидкість і статичний тиск мають різні знаки, тобто зі зростанням швидкості газу тиск буде зменшуватися. Цей принцип використовується в ежекторах, інжекторах, ерліфтах, тобто установках, що переміщають газ чи рідину за допомогою потоку стиснутого газу.