3) Політропне розширення.

Кінцевий об’єм визначаємо зі співвідношення параметрів процесу

(1.87):

1

V2 V1  РР21 n  0,012 0,017 м3.

Розраховуємо також кінцеву температуру повітря:

n1

T2 T1 PP21  n  298 21  253K; t2   19C.

Визначаємо роботу політропного процесу розширення (див. рівняння

(1.88)):

1 ⁵ 0,01 10⁵ 0,017) 60939 Дж.

L  (210 

1,3 1

За рівнянням (1.90) визначаємо кількість підведеної теплоти:

Q  R  n  k (T2 T1 ) 287  1,3 1,4(253 298) 10645 Дж. k 1 n 1 1,4 1 1,3 1

Приклад 1.16. Яку кількість теплоти потрібно витратити для нагріву суміші газів при постійному надлишковому тиску 2 бар від 100°С до 500°С? Суміш газів складається з 3 кіломолей азоту та 2 кіломолей кисню. Яку роботу при цьому виконує газ? Тиск атмосфери прийняти рівним 760 мм рт. ст. При розрахунках вплив температури на теплоємність не враховувати.

Розв’язання. Спочатку потрібно визначити газову постійну суміші газів. Для цього визначаємо масу азоту та кисню:

m_N2  328  84 кг; m_O2  232  64 кг.

Визначаємо масу суміші газів:

m= 84 + 64 = 148 кг.

Тепер за рівнянням (1.26) визначаємо газову постійну суміші газів:

R  296,8  259,8  281Äæ/(êã Ê) .

Теплоємність суміші газів за умови незалежності від температури визначаємо за рівнянням (1.38) (суміш складається з двоатомних газів, тому k=1,4):

C_p  R^k _ 281^1,4 _ 983,5 Дж/(кг К). k  1 1,4  1

Визначаємо абсолютний тиск, під яким знаходиться суміш газів:

Р_абс  210⁵ 760133,3 301308Па.

Визначаємо кількість теплоти, яку потрібно витратити для нагріву суміші газів від 100°С до 500°С (рівняння (1.72)):

Q  mÑ_p (T₂ T₁ )148983,5(500100)58223200Äæ.

Роботу, яку виконує суміш газів визначаємо за рівнянням (1.71):

L m R(T₂ T₁ ) 148281(500100) 16635200Äæ.

Приклад 1.17. У циклі Карно отримано корисну роботу 100 кДж/кг, а холодильнику передано кількість теплоти 80 кДж/кг. Знайти температуру нагрівача, якщо температура холодильника 290 К.

Розв’язання. За формулою (1.93) q₁ – q₂ = l; тоді

q₁ = q₂ + l = 80 + 100 = 180 кДж/кг.

Згідно з рівнянням (1.94) та (1.97) для циклу Карно

l T2 . ηt  q1  1 T1

Звідси ми можемо виразити Т1:

Т₁=Т₂/(1-l/q₁).

Розраховуємо Т1:

Т₁=290/(1-100/180)=652 К.

Приклад 1.18. Цикл Карно здійснюється між температурами Т1=700 К і Т2=290 К. Від гарячого джерела підводиться 2000 кДж/кг. Визначити кількість теплоти, яку передано холодному джерелу.

Розв’язання. Згідно з рівняннями (1.94) та (1.97)

t  1 q²  1 T² q1 T1

Тоді

q2  T2 і q2  q1T2  2000290  830 кДж/кг. q₁ T₁ T₁ 700

Приклад 1.19. Визначити параметри водяної пари, якщо тиск Р=10 бар, ступінь сухості х=0,95.

Розв’язання. Користаючись hs-діаграмою, знаходимо точку 1, що характеризує даний стан пари (рис. 1.38). Проектуючи її на вісь ординат, знаходимо значення ентальпії h₁=2675 кДж/кг. Проектуючи цю ж точку на вісь абсцис, знаходимо значення ентропії s₁=6,38 кДж/кг К.

Для визначення температури пари знаходимо температуру насичення пари при заданому тиску. Для цього шукаємо точку 2 перетинання ізобари 10 бар з верхньою граничною кривою. Через цю точку проходить ізотерма 180 °С; це і є температура пари, яка характеризує будь-яку точку в області насиченої пари, що належить цій ізобарі.

Значення питомого об’єму знаходимо за допомогою пунктирних ліній постійного об’єму v₁=0,2 м³/кг (рис. 1.38). Значення u знаходимо за формулою

u=h-Pv=2675000-1000000 · 0,2=2475000 Дж/кг.

Приклад 1.20. Визначити параметри водяної пари і ступінь її перегріву, якщо Р=20 бар, t=350 ^oC.

Розв’язання. Користаючись hs-діаграмою, знаходимо точку 3, що характеризує даний стан пари, на перетинанні ізобари 20 бар та ізотерми 350^оС (рис. 1.38). Проектуючи її на вісь ординат, знаходимо значення ентальпії h₃=3140 кДж/кг. Проектуючи цю ж точку на вісь абсцис, знаходимо значення ентропії s₃=6,95 кДж/кг ^оС.

Значення питомого об’єму знаходимо за допомогою ліній постійного об’єму v₃=0,14 м³/кг. Значення u₃ знаходимо за рівнянням

u=h-Pv=3140000-2000000 · 0,14=2860000 Дж/кг.

Для визначення ступеня перегріву знаходимо температуру насичення при заданому тиску. Це значення ізотерми, яка проходить через точку 4 – точку перетинання ізобари 20 бар з кривою насичення, тобто кривою сухої насиченої пари. Значення цієї ізотерми – 215 ^оС. Звідси ступінь перегріву дорівнює

t=350-215=135 ^oC.

Рисунок 1.38 – hs-Діаграма водяної пари

Приклад 1.21. 2 м³ пари розширюються за адіабатою від початкових параметрів стану Р_п=5 бар і t_п=450° С до Р_к=0,01 МПа. Знайти значення ентальпії і питомого об’єму в початковому і кінцевому станах, ступінь сухості в кінцевій точці і роботу пари у процесі.

Розв’язання. За допомогою hs-діаграми знаходимо точку, що характеризує початковий стан пари, – точка 5 на рисунку 1.28.

Проектуючи її на вісь ординат, знаходимо значення ентальпії h₅=3375 кДж/кг.

Значення питомого об’єму знаходимо за допомогою ліній постійного об’єму v₅=0,65 м³/кг.

Адіабатний процес на hs-діаграмі зображується вертикальною лінією. Тому кінцеву точку процесу 6 знаходимо на перетинанні вертикальної лінії, яку проведено із точки 5, з ізобарою Р=0,1 бар. Проектуючи точку 6 на вісь ординат, знаходимо значення ентальпії в кінцевій точці h₆=2520 кДж/кг.

Ступінь сухості у кінцевому стані знаходимо за допомогою ліній постійного ступеня сухості х6=0,97.

Значення кінцевого питомого об’єму знаходимо за допомогою ліній постійного об’єму v₆=15 м³/кг і ступеня сухості:

v_к= v₆ х6=15·0,97=14,55 м³/кг.

Внутрішню енергію розраховуємо аналітично:

u_п=3375000-500000·0,65=3050000 Дж/кг. u_к=2525000-10000·14,55=2379000 Дж/кг.

Робота пари у адіабатному процесі дорівнює зміні внутрішньої енергії з оборотним знаком. Тому розраховуємо її за формулою:

V V

L  ml  -mu  - ^u_к  ^u_п ^u_п  ^u_к; vп vп

L  3050000 2379000 2076923 Дж.

Приклад 1.22. На одержання пари з тиском Р=75 aт витрачено теплоту кількістю 480 ккал/кг. Визначити стан пари і її густину, якщо пара отримана з води з температурою 150°С.

Розв’язання. Ентальпія киплячої води при температурі 150 ^оС (табл. Г.1 додатка Г) складає h’=632,2 кДж/кг.

Ентальпія пари

h=h’+q=632,2+480·4,186=2641,5 кДж/кг.

Водяна пара при тиску 75 aт (7,5 МПа) має наступні характеристики (табл. Г.2 додатка Г):

h’=1231кДж/кг; h’’=2758,6 кДж/кг; r=1492 кДж/кг; ρ’’=38,6 кг/м³.

Порівнюючи ентальпію отриманої пари h з ентальпією сухої пари h’’, встановлюємо, що це волога пара.

Ступінь сухості пари визначаємо за рівнянням

x _ h_x  h _ 2641,5 1231 _ 0,94 _. r 1492

Густина отриманої пари

ρ" 38,6 ³. ρx  x  0,94  41,06 êã /ì

Приклад 1.23. У судині об’ємом 0,75 м³ знаходиться суха насичена пара під тиском 1 МПа. Пара підігрівається при незмінному об’ємі, і наприкінці нагрівання її тиск підвищується до 1,4 МПа. Визначити кількість витраченого на нагрівання тепла.

Розв’язання. Суха насичена пара при Р=1 МПа має питомий об’єм v"=0,1945 м³/кг і ентальпію h"=2777,8 кДж/кг (табл. Г.2 додатка Г). Отже, її внутрішня енергія

u" h"P₁v" 2777,810³ 10⁶ 0,1945 2583,3 кДж/кг.

Наприкінці нагрівання пара буде перегрітою, причому її ентальпія буде дорівнювати 3190 кДж/кг (визначена за допомогою hs-діаграми (додаток Д) для точки перетинання ізохори v=0,19 м³/кг з ізобарою

Р=14 бар).

Внутрішня енергія перегрітої пари

u  h P₂v  319010³ 1,410⁶ 0,1945 2906,3 кДж/кг.

Маса пари в посудині

V 0,75

m    3,85 кг . v" 0,1945

Визначаємо теплоту, яку було витрачено на нагрівання:

Q  m (uu" ) 3,85(2906,3 2583,3) 1244 кДж .

Приклад 1.24. Визначити параметри вологого повітря, якщо за показниками психрометра tc_ух = 45 и t_мокр = 32ºС.

Розв’язання. Спочатку на діаграмі визначають точку, що характеризує насичене повітря в тонкому шарі, що прилягає до поверхні води і мокрої тканини психрометра. Вона лежить на перетинанні ізотерми мокрого термометра і лінії насиченого повітря, для якого φ = 100%. Для t_мокр=32ºС. Це буде точка 1 (див. рис. Е.1 додатка Е). Докладні дослідження показують, що значення ентальпії насиченого повітря і повітря у приміщенні (у більшості випадків воно ненасичене) майже однакові. Якщо прийняти це допущення, то за допомогою hd-діаграми можна знайти точку, що характеризує повітря у приміщенні. Для цього через точку 1 проводять лінію h=const. Вочевидь, точка 2 лежить на перетинанні ізотерми t_cух=45°С з лінією h=const, тому що ми прийняли, що ентальпія повітря у приміщенні дорівнює ентальпії насиченого повітря, яке характеризується точкою 1. Знаходимо параметри вологого повітря: φ=37%, d=21 г/кг; h=104,5 кДж/кг (25 ккал/кг), Р_п=3 кПа (22,5 мм рт. ст.).

Для того, щоб знайти температуру точки роси t_роси, проводимо з точки 2 вертикаль, тобто лінію d=const. На перетинанні вертикалі з лінією φ=100% знаходимо t_роси=28°С. Отже, при охолодженні повітря в приміщенні при Р_п=const до 28 °С він стане насиченим.

Приклад 1.25. Для сушіння використовують повітря при t1=20°С і φ=60%. У калорифері його підігрівають (при d=const) до t2=95°С і направляють до ідеальної (без витрат) сушарки, де воно у процесі сушіння охолоджується при h=const до t3=35°С. Визначити кінцевий вологовміст повітря, витрати повітря і тепла на 1 кг вологи, що випаровується.

Розв’язання. У hd-діаграмі (див. рис. Е.1 додатка Е) для початкового стану повітря знаходимо точку 4 на перетинанні ліній t₁=20°С і φ=60%, і для неї визначаємо d₁ =9 г/кг і h₁=42,0 кДж/кг. Через точку 4 проводимо лінію d=const до перетинання з t2=95°С, знаходимо точку 5, що характеризує повітря при виході з калорифера. З точки 5 проводимо лінію h=const (вона характеризує процес у сушарці) до перетинання з t₃=35°С, де знаходимо точку 6, що характеризує стан повітря при виході із сушарки.

Для кінцевого стану (точка 6) знаходимо d₂ = 33,0 г/кг і h₂ = 120 кДж/кг.

Таким чином, на 1 кг сухого повітря (його кількість у вологому повітрі при проходженні через калорифер і сушарку залишилось без зміни), що знаходиться у вологому повітрі, зміна вологовмісту складає:

Δd = 33 – 9 = 24 г/кг.

Для випару 1 кг вологи потрібно, щоб у вологому повітрі знаходилося

 41,6 кг сухого повітря.

Витрати тепла в калорифері складають:

Δh = h₂ – h₁ = 120 – 42 = 78 кДж/кг.

Витрати тепла на 1 кг вологи, що випаровується, тобто на 41,6 кг сухого повітря, складає q = 78 · 41,6 = 3250 кДж/кг.

Приклад 1.26. Водяна пара витікає з насадки, що звужується.

Початкові параметри: тиск Р1 1 МПа, t₁=300^оC; тиск середовища, до якого відбувається витікання, в першому випадку – 0,6 МПа, в другому – 0,2 МПа. Визначити швидкість витікання і секундну витрату, якщо площа вихідного перерізу f_мін=30 см².

Розв’язання. Для першого випадку витікання

^P2  ⁶  0,6 _êð  0,546.

P₁ 10

Спочатку на hs-діаграмі знаходимо точку 1 на перетинанні ізобари 10 бар й ізотерми 300^оС (рис. 1.39).

На перетинанні вертикалі з точки 1 й ізобари 6 бар знаходимо точку 2. Значення h₁ і h₂ для рівняння (1.176) h₂ знаходимо відповідно до рисунка 1.39: h₁ = 3050 кДж/кг, h₂ = 2920 кДж/кг.

Тоді за рівнянням (1.176):

 1,41 3050 292010³  514 м/с.

Рисунок 1.39 – Визначення швидкості витікання за допомогою hs-діаграми

Секундну витрату визначаємо за рівнянням (1.182). У даному випадку витікання пара, що виходить із сопла, є перегрітою. Питомий об’єм v₂ знаходимо за допомогою hs-діаграми для точки 2: v₂=0,38 м³/кг. Підставляємо отримані значення до рівняння (1.182):

M _ f _ 0,003514 _ 4,03 _кг/с. v₂ 0,38

Для другого випадку витікання

^P2  ²  0,2 _êð  0,546,

P₁ 10

тому в перерізі встановлюється критична швидкість, значення якої визначаємо за рівнянням (1.186), причому об’єм v₁ знаходимо за hs-діаграмою для Р1=1 МПа и t₁=300°С: v₁=0,26 м³/кг.

Згідно з рівнянням (1.186) знаходимо:

_êð  10 0,26  550 м/с.

Секундну витрату визначаємо за рівнянням (1.190):

21,33 10⁶  2  M_ìàêñ 0,003    0,386 кг/с.

1,33 1 0,261,33 1

Значення ω_кр можно визначити також за рівняннями (1.195), при цьому в рівняння (1.190) необхідно підставляти значення h_кр, яке також визначається за допомогою hs-діаграми для Р_кр=β_крР1.

Приклад 1.27. Визначити швидкість витікання, секундну витрату і f_макс при витіканні пари через сопло Лаваля для наступних даних:

Р1=1,6 МПа; t₁=300ºC; P₂=0,1 МПа; f_мін=6 см².

Розв’язання. За hs-діаграмою (рис. Д.1 додатка Д) знаходимо h₁=3040 кДж/кг, h₂=2490 кДж/кг, х2=0,92. Тоді значення швидкості витікання згідно з формулою (1.176):

1,41 3040 249010³ 1,41 55010³ 1080 м/с.

Значення М_макс знаходимо за рівнянням (1.190), так як

(Р2/Р1)=0,1/1,6=0,062 < βкр=0,546.
За hs-діаграмою знаходимо v1=0,16 м3/кг. Тоді	для	Р1=1,6	МПа	і	t1=300°С:

21,33 1,610⁶  2 

M_ìàêñ 0,0006     1,27 кг/с.

1,33 1 0,16 1,33 1

Значення f_макс знаходимо з рівняння нерозривності для вихідного перерізу (1.165):

Mмаксv2= fмаксω.

Значення v₂ вологої насиченої пари знаходимо за залежністю (1.119):

v₂=v"х2 + (1 – x) v’_{. Але так як доданок} (1 – x) v’ є дуже малим, то ним знехтуємо. За таблицею Г.1 додатка Г v"=1,695 м³/кг (для Р1=0,1 МПа); значення х2 знаходимо за hs-діаграмою: х2=0,92. Тоді за рівнянням (1.119) знаходимо:

v₂=v"х2=1,695·0,92=1,56 м³/кг.

Таким чином згідно з рівнянням (1.165) отримаємо:

fìàêñ  Ì ìàêñ v2  1,27 1,56  0,00184 м2 = 18,4 см2.

 1080

Приклад 1.28. Визначити швидкість витікання азоту, якщо

Р₁ = 70 атм., Р₂=45 атм., t₁=50°С.

Розв’язання. Знаходимо співвідношення кінцевого і початкового тисків:

β PP21  7045  0,64.

Порівняємо його з β_кр, яке дорівнює 0,528, тому що азот є двоатомним газом. Так як β>β_кр, то швидкість визначаємо за рівнянням

(1.181):

 k1 



2kk1P₁v₁1 PP²1 ^ ^{k }.

Питомий об’єм визначаємо з рівняння Клапейрона:

v1  RTP11  70296,80,981323105 0,014 м3/кг.

Розраховуємо швидкість:

 21,4 700,981105 0,0141 450,286  280 ì /ñ.

0,4 _ 70  _

Приклад 1.29. Перегріта водяна пара при тиску Р₁=100 атм. і t₁=500°C витікає до середовища з Р₂=2 атм. Витрата пари М=3 кг/с.

Визначити швидкість витікання і площу перерізу насадки.

Розв’язання. Визначаємо, яке сопло треба взяти для даного випадку витікання. Через те, що

  P²  ² <_êð 0,546, P₁ 100

для повного використання потенційної енергії пари треба взяти сопло Лаваля.

За допомогою hs-діаграми для витікання за адіабатою визначаємо ентальпії пари у початковому і кінцевому станах:

h₁  3375 кДж/кг; h₂  2500 кДж/кг.

Знаходимо швидкість витікання:

 44,76 33752500 1324 ì /ñ..

Для вихідного перерізу знаходимо:

v₂  v''₂ х2  0,80,905  0,724 м³/кг.

Площу вихідного перерізу визначаємо за рівнянням

f  Mv2  30,724  0,00164 ì 2.

 1324

Задана витрата пари М – максимальна. Величина f_мін визначається за рівнянням

Мvкр=fмінωкр,

до якого підставлено значення критичного перерізу, або за рівнянням

M ,

f 

2

2. k  2 k1 P1 k 1k 1 v₁

у якому f=f_мін, а М=М_маx.

Розраховуємо f_мін:

2. ².

f_мiн   0,00027 м

Приклад 1.30. Перегріта пара з тиском Р_п=100 бар і температурою 600°С дроселюється до Р_к=5 бар. Визначити, як зміняться ентальпія, ентропія і питомий об’єм пари в цьому процесі.

Розв’язання. Процес дроселювання зображується на hs-діаграмі горизонтальною лінією. Для визначення кінцевої точки процесу проводимо горизонталь з точки 7 до перетинання з ізобарою Р=5 бар (див. рис. 1.28).

Зміна ентальпії при дроселюванні дорівнює нулю. Ентропію початкового і кінцевого станів визначаємо, проектуючи точки 7 і 8 на вісь абсцис s_п=6,90 кДж/кгК, s_к=8,28 кДж/кгК.

s=8,28 – 6,9=1,38 кДж/кгК.

Значення питомого об’єму знаходимо за допомогою ліній постійного об’єму v_п=0,038 м³/кг, v_к=0,8 м³/кг.

v=0,8 – 0,038=0,762 м³/кг.

Приклад 1.31. Повітря з резервуару з постійним тиском 100 бар і температурою 15^oС витікає до атмосфери через трубку з внутрішнім діаметром 10 мм. Визначити швидкість витікання повітря і його секундну витрату. Зовнішній тиск дорівнює 1 бар. Процес розширення повітря вважати адіабатним.

Розв’язання. Визначаємо величину β і порівнюємо її з критичним значенням для повітря:

  P²  1 êð 0,528.

P₁ 100

Швидкість витікання буде критичною і визначається за рівнянням

k 1,4

_êð  2 RT₁  2  287 288  310 ì /ñ. k  1 1,4  1

Визначивши площу перерізу сопла і початковий питомий об’єм повітря, розраховуємо секундну витрату:

f  πd²  3,140,01²  0,0000785 ì ₂ ;

4 4

v1  RPT11  100287102885 0,00827 м3/кг;

M_max 0,0000785  1,87 êã/ñ.