2.1.5.3 Нагрівання і охолодження циліндра

Для нескінченно довгого циліндра (стрижня) з радіусом R диференціальне рівняння теплопровідності має наступний вид:

^^ a^^r^22 _¹r ^^r ^. (2.108)

Початкові умови

при τ=0 =_o= t_о–t_сер. (2.109)

Граничні умови на осі і на поверхні циліндра:

a) íà îñ³ öèë³íäðà ïðè r  0 ^_ ^^r _^r_0  0 ^_ 

. (2.110)

á) на поверхн³ цил³ндра при r  R ^ ^^r ^rR   ^ _rR^_

Розв’язання диференціального рівняння (2.108) відносно _п/_о,

_ц/_о і відношення Q_τ/Q_пов також є функціями тільки двох чисел подоби:

Bі=αR/λ_ст і Fo=ατ/R². Ці залежності у виді графіків наведено відповідно на рисунках К.3, К.4 і К.6 додатка К.

Температури циліндра на поверхні і на осі для будь-якого моменту часу визначаються аналогічно плоскої стінки за рівняннями (2.107).

Величина Q_пов для ділянки циліндра довжиною l дорівнює

Q_пов=πR²Сρ_оl, (2.111)

де С – теплоємність матеріалу циліндру; ρ – густина матеріалу циліндру.

Визначення часу, необхідного для прогріву тіла до заданої температури, проводиться так само, як і для необмеженої плоскої стінки.

2.1.5.4 Залежність процесу поширення теплоти від форми і розмірів тіла

Швидкість протікання процесу поширення теплоти для будь-якого тіла тим більше, чим більше відношення площі його поверхні до об’єму. У цьому легко переконатися, якщо для тіл різної форми порівняти значення _ц при однакових значеннях Fo. Таке порівняння наведено на рисунку 2.13, де для різних тіл дано залежності _ц/_о=Ф(Fo) при Bі→∞.

1 - пластина; 2 - квадратна балка нескінченної довжини;

3 - циліндр нескінченної довжини; 4 - куб;

5 - циліндр, довжина якого дорівнює діаметру; 6 - куля Рисунок 2.13 – Залежність _ц/_о=Ф(Fo) для тіл різної форми

при Bі→∞

З рисунка 2.13 видно, що для куль швидкість процесу більше, ніж для будь-яких інших тіл. Для циліндричних і призматичних тіл швидкість процесу великою мірою залежить від їх довжини. Чим менше довжина, тим більше швидкість.

Короткі циліндри, прямокутні призми і паралелепіпеди можна розглядати відповідно як тіла, які утворені перетином взаємно перпендикулярних циліндра і пластини, двох пластин і трьох пластин необмежених розмірів, але кінцевої товщини. Для циліндра кінцевої довжини товщина пластини 2δ береться рівною довжині циліндра l.

Відносна (безрозмірна) температура /_о для будь-якої точки циліндра дорівнює добутку відносних температур цієї точки, отриманих для нескінченно довгого циліндра і пластини необмеженої довжини.

Цей метод перемножування відносних температур можна застосовувати також для прямокутних призм і паралелепіпедів. Наприклад, відносна температура на поверхні середини довжини циліндра дорівнює добутку відносної температури поверхні нескінченно довгого циліндра

_п/_о на відносну температуру всередині необмеженої пластини _ц/_о; так само відносна температура на осі всередині циліндра дорівнює добутку відносної температури осі _ц/_о нескінченного циліндру на відносну температуру осі _ц/_о необмеженої пластини.