2.1.5.2 Нагрівання і охолодження плоскої стінки

Розглянемо пластину товщиною 2δ. Якщо товщина пластини мала у порівнянні з довжиною і шириною, то її можна вважати необмеженою

(рис. 2.11).

У початковий момент (τ=0) температура у пластині розподілена рівномірно і дорівнює t=t_о=const. Зміна температури відбувається тільки в одному напрямку х, тобто у просторі задача є одномірною і

диференціальне рівняння (2.89) набуває виду

^t a^ ^{2t }. (2.99)

 x_{2 }

Охолодження пластини відбувається в середовищі з постійною температурою t_сер=const. На обох поверхнях відвід тепла здійснюється при однаковому коефіцієнті тепловіддачі α=const у всьому проміжку часу.

Відлік температури пластини для будь-якого часу будемо вести від температури навколишнього середовища, тобто надлишкова температура  = t–t_сер.

Рисунок 2.11 – Охолодження пластини при нестаціонарному режимі

Диференціальне рівняння (2.99) для надлишкової температури  набуде виду

^{ } ^2. (2.100)

 ax_{2 }

Початкові умови визначаються наступним чином

при τ=0 =_o= t_о–t_сер. (2.101)

При заданих умовах охолодження задача стає симетричною і початок координат зручно помістити на осі пластини, як показано на рисунку 2.11. При цьому граничні умови на осі і на поверхні пластини запишуться наступним чином:

a) на ос³ пластини при х  0 ^_ ^^x ^_x_0  0 ^_ 

. (2.102)

á) на поверхн³ пластини при х   ^ ^^x ^x   ^ _xδ^_

При розв’язанні технічних задач у більшості випадків достатньо

знати температуру на поверхні _п і в середньої площини стінки _ц. У цьому випадку рівняння (2.98) спрощується, тому що аргумент Х стає постійним числом (при х = 0 Х= 0 і при х = δ Х = 1). Отже, можна записати:

θ_п =Ф_п (Bі, Fо). (2.103) θ_ц =Ф_ц (Bі, Fо). (2.104)

де θп – безрозмірна температура на поверхні стінки θп=п/о; θ_ц – безрозмірна температура в середньої площини стінки θц=ц/о.

Крім розподілу температур часто потрібно знати кількість теплоти, яка передається за час τ – Q_τ. Відношення Q_τ до теплоти Q_пов, що може бути віддана (чи сприйнята) тілом за час повного охолодження (нагрівання), також є функцією тільки двох чисел подоби Bі і Fo:

Q_τ / Q_пов =Ф_п (Bі, Fо). (2.105)

Залежності (2.103), (2.104) і (2.105) наведено відповідно на рисунках К.1, К.2 і К.5 додатка К у виді графіків. При визначенні необхідних величин необхідно спочатку розрахувати значення чисел подоби

Bі=αδ/λ_ст і Fo=ατ/δ²,

за допомогою яких з графіків визначаються θ_п, θ_ц і Q_τ/Q_пов.

Так як _о і Q_пов відомі, то можна легко розрахувати значення _п, _ц і Q_τ. _п і _ц розраховуються за допомогою рівняння (2.97), а величина

Q_пов розраховується за рівнянням

Q_пов=Сρ_оδF, (2.106)

де С – теплоємність матеріалу стінки; ρ – густина матеріалу стінки;

F – площа бічної поверхні стінки. Од. вим.?

За цими даними можна приблизно побудувати всю криву розподілу температури в тілі, користаючись тим, що напрямок дотичних до цієї кривої відомий у трьох точках (рис. 2.12).

Дійсно, із точок х = ±δ дотичні проходять через напрямні точки О і

О1, які розташовані на відстані ±λ_ст/α від стінки. У точці х = 0 дотична є горизонтальною через симетрюї температурної кривої (/x 0). Таким чином, можна побудувати криву розподілу температури в тілі для будьякого моменту часу τ.

Рисунок 2.12 – Зміна температурного полю при охолодженні необмеженої плоскої стінки

Усередині стінки лінії зміни температур розташовуються симетрично. Характер цих кривих показує, що найбільш інтенсивно процес зміни температури стінки відбувається в початковий період охолодження, протягом якого стінка втрачає найбільшу кількість тепла через великий температурний напір. Зміна температури всередині стінки відстає від зміни температури на її поверхні, причому це відставання тим значніше, чим більше критерій Біо Ві, коефіцієнт тепловіддачі α і чим товща стінка.

Абсолютні значення температур тіла на поверхні й у площини симетрії для будь-якого моменту часу визначаються з наступних співвідношень:

ï  tï  tñåð 

o to  tñåð 

_ö  _{tö  tñåð} _, (2.107)

o to  tñåð 

де t_о – температура стінки у початковий час τ=0;

t_сер – температура середовища;

t_п – температура поверхні стінки через деякий час τ;

t_ц – температура у площини симетрії, тобто всередині стінки через деякий час τ.

Наведені дані можна застосовувати як для охолодження так і нагрівання, а також для двостороннього і однобічного процесів. В останньому випадку δ буде означати повну товщину стінки.

Задача визначення часу, необхідного для прогріву тіла до заданої температури, також просто вирішується графічним методом. Для цього спочатку потрібно розрахувати значення критерію Біо Ві за відомою температурою на поверхні чи всередині тіла, знайти відношення _п/_о або _ц/_о і за допомогою відповідного графіка (див. рис. К.1, К.2 додатка К) визначити числове значення критерію Фур'є Fo, а за ним – і необхідний час τ.