2.1.3 Умови однозначності для процесів теплопровідності

Так як диференціальне рівняння теплопровідності отримано на основі загальних законів фізики, то воно описує явище теплопровідності в самому загальному виді. Тому можна сказати, що отримане диференціальне рівняння описує цілий клас явищ теплопровідності. Щоб з незліченної кількості виділити конкретний процес і дати його повний математичний опис, до диференціального рівняння необхідно додати математичний опис усіх окремих особливостей процесу, що розглядається. Ці окремі особливості, що разом з диференціальним рівнянням дають повний математичний опис конкретного процесу теплопровідності, називаються умовами однозначності або крайовими умовами.

Умови однозначності включають:

• геометричні умови, що характеризують форму і розміри тіла, в якому протікає процес;

• фізичні умови, що характеризують фізичні властивості тіла;

• тимчасові чи початкові умови, що характеризують розподіл температур у тілі, що досліджується, в початковий момент часу;

• граничні умови, що характеризують взаємодію тіла, що розглядається, з навколишнім середовищем.

Геометричними умовами задаються форма і лінійні розміри тіла, у якому протікає процес.

Фізичними умовами задаються фізичні параметри тіла λ, с, ρ та ін.

і може бути заданий закон розподілу внутрішніх джерел теплоти.

Початкові умови необхідні при розгляді нестаціонарних процесів і полягають в завданні закону розподілу температури всередині тіла в початковий момент часу. У загальному випадку початкові умови аналітично можуть бути записані в такий спосіб:

при τ=0

t = f (х, у, z). (2.14)

У випадку рівномірного розподілу температури в тілі початкові умові спрощуються; при τ=0

t = t₀ = const. (2.15)

Граничні умови можуть бути задані декількома способами.

1. Граничні умови першого роду. При цьому задається розподіл температури на поверхні тіла для кожного моменту часу:

t_ст = f (х, у, z). (2.16)

де t_ст – температура на поверхні тіла; х, у, z – координати поверхні тіла.

В окремому випадку, коли температура на поверхні є постійною протягом усього часу протікання процесів теплообміну, рівняння (2.16) спрощується і набуває виду

t_ст = const. (2.17)

2. Граничні умови другого роду. При цьому задаються величини теплового потоку для кожної точки поверхні тіла і будь-якого моменту часу. Аналітично це можна подати в такий спосіб:

q_п = f (х, у, z, τ). (2.18)

де q_п – густина теплового потоку на поверхні тіла; х, у, z – як і у випадку (2.16) – координати поверхні тіла.

У найпростішому випадку густина теплового потоку поверхнею тіла і з часом залишається постійною

q_п = q₀ = const. (2.19)

Такий випадок теплообміну має місце, наприклад, при нагріванні різних металевих виробів у високотемпературних печах.

3. Граничні умови третього роду. При цьому задаються температура навколишнього середовища t_рід і закон теплообміну між поверхнею тіла і навколишнім середовищем. Граничні умови третього роду характеризують закон теплообміну між поверхнею і навколишнім середовищем у процесі охолодження і нагрівання тіла. Для опису процесу теплообміну між поверхнею тіла і середовищем використовується закон Ньютона-Ріхмана.

Процес теплообміну між поверхнею тіла і середовищем відноситься до дуже складних процесів і залежить від великої кількості параметрів. Докладно ці питання будуть розглянуті пізніше.

Відповідно до закону Ньютона-Ріхмана кількість теплоти, що віддається одиницею поверхні тіла за одиницю часу, пропорційна різниці температур поверхні тіла t_ст і навколишнього середовища t_сер:

q =  (t_cт – t_сер), (2.20)

де  – коефіцієнт пропорційності, який називається коефіцієнт тепловіддачі, він має розмірність – ват на квадратний метр-кельвін (Вт/м² К).

Коефіцієнт тепловіддачі характеризує інтенсивність теплообміну між поверхнею тіла і навколишнім середовищем. Чисельно він дорівнює кількості теплоти, що віддається (чи сприймається) одиницею поверхні за одиницю часу при різниці температур між поверхнею тіла і навколишнім середовищем в один градус.

Відповідно до закону збереження енергії кількість теплоти, що відводиться з одиниці поверхні за одиницю часу внаслідок тепловіддачі (2.20), повинна дорівнювати теплоті, яка підводиться до одиниці поверхні за одиницю часу внаслідок теплопровідності з внутрішніх об’ємів тіла (рівняння (2.6)), тобто

 (t_cт – t_сер) = –λ drag t, (2.21)

або

t_ñò  t_ñåð ^_ ^{t }_ , (2.22)

ncò

де п – нормаль до поверхні тіла; індекс «ст» вказує на те, що

температура і градієнт відносяться до поверхні тіла (при п=0).

Остаточно граничні умови третього роду можна записати в наступному виді

^ ^{t }   ^t_ñò  t_ñåð. (2.23)

ncò 

Рівняння (2.23), власно кажучи, є окремим вираженням закону збереження енергії для поверхні тіла.

Коефіцієнт тепловіддачі залежить від великої кількості факторів. Однак у багатьох випадках коефіцієнт тепловіддачі можна вважати незмінним, тому в подальшому при рішенні задач теплопровідності ми будемо приймати величину α постійною.

3) Граничні умови четвертого роду характеризують умови теплообміну системи тіл чи тіла з навколишнім середовищем за законом теплопровідності. Передбачається, що між тілами здійснюється ідеальний контакт (температури поверхонь, що торкаються одна одної, однакові).

У даних умовах має місце рівність теплових потоків, що проходять через поверхню зіткнення, тобто

₁t^{1 }_  ₂^_^{t2 }_ . (2.24)

 n cò  n cò

У задачах із граничними умовами четвертого роду задається відношення тангенсів кута нахилу дотичних прямих до температурних кривих в точці дотику тіл або тіла і середовища:

^tg1  ^2  const . (2.25) tg2 1

Так як при контакті обидва тіла на поверхні зіткнення мають однакову температуру, те дотичні прямі у поверхні розподілу проходять через одну і ту ж саму точку.