1.1.4 Теплоємність ідеального газу
Питома теплоємність – це кількість теплоти, необхідна для нагрівання якої-небудь кількісної одиниці речовини в даному процесі на один градус. У залежності від одиниці виміру, до якої відносять теплоємність, розрізняють:
Масову теплоємність – с, Дж/(кг к); об'ємну теплоємність – с', Дж/(м3 к);
мольну теплоємність – С, Дж/(кмоль К).
Іноді теплоємність вимірюють у ккал/(кг·°С), ккал/(м3·°С), ккал/(кмоль·°С). При цьому 1 кал = 4,1868 Дж 4,19 Дж.
Слід відзначити, що так як 1 м3 в залежності від параметрів стану газу може містить різну кількість речовини, при визначенні об’ємної теплоємності газу 1 м3 прийнято відносити до нормальних умов.
Між різними видами теплоємностей існує наступна залежність:
С’ = С / 22.4 ; С = С / ; С = С’ / н, (1.28)
де н – густина газу за нормальних умов.
Теплоємність газів залежіть від умов проведення процесу підводу або відводу теплоти. Найбільший інтерес мають 2 процеси: 1) при постійному об’ємі, 2) при постійному тиску.
Відповідно, розрізняють теплоємності:
1) Теплоємність при постійному об’ємі – Сv, с’V, Сμv;
2) теплоємність при постійному тиску – Сp, С’p, Сμp.
Теплоємності при постійному тиску і постійному об’ємі зв'язані між собою наступними співвідношеннями:
Ср = Cv + R ; Ср / Cv = k , (1.29)
де R – газова стала, Дж /(кг К); k – показник адіабати.
Для реальних газів показник адіабати k є величиною перемінною і залежить від температури і розраховується за рівнянням (1.29).
Для ідеальних газів можна вважати, що показник адіабати k залежить лише від кількості атомів у молекулі газу. Якщо прийняти, що теплоємності Ср та Cv є постійними і не залежать від температури, то показник адіабати k ідеального газу дорівнює
1) для одноатомних газів k = 1,67; 2) для двоатомних газів k = 1,4;
3) для три- і багатоатомних k = 1,33.
Аналіз рівнянь (1.29) показує, що під час нагрівання газу при P=const витрачається тепла більше, ніж при V=const, тому що при постійному тиску частина теплоти використовується на здійснення роботи, яка обумовлена розширенням газу.
Теоретичні розробки та експериментальні дослідження показали, що теплоємність ідеальних газів не залежіть від тиску, а залежіть лише від температури. При виконанні точних розрахунків цю залежність необхідно враховувати. Ії можна виразити за допомогою рівняння
С = а + bt + dt2 + kt3 + …, (1.30)
де a, b, d, k … – сталі для кожного газу величини, які визначаються
на основі експериментальних або теоретичних даних.
На рисунку 1.3, а наведено графік залежності теплоємності від температури с=f(t) в загальному виді.
t1 t2 t,
C
а б
Рисунок 1.3 – Залежність істинної теплоємності від температури
Якщо при температурі t підвести до 1 кг газу нескінченно малу кількість теплоти dq, температура газу зміниться також на нескінченно малу величину dt, тоді відношення dq до dt і є істинна теплоємність газу при температурі t. Тобто істинна теплоємність дорівнює
С = lim (q / t) = dq / dt = dq / dT. (1.31)
t0
Кількість теплоти q, яка підведена до 1 кг газу при нагріванні його від початкової температури t1 до кінцевої температури t2, визначають як
t2
q C dt . (1.32) t1
Цей інтеграл графічно вимірюється площею під кривою функції С=f(t) (рис. 1.3, а), тобто площею фігури BEHD. Якщо площу цієї фігури замінити рівною їй площею прямокутника BGFD, який побудовано на тій же основі BD, то висота цього прямокутника BE буде відповідати середній теплоємності в інтервалі температур від t1 до t2. Таким чином, теплоту процесу нагрівання газу від температури t1 до температури t2 можна розрахувати за рівнянням
t2 q1- 2 (t2 - t1 ) C t1 , (1.33)
t2 де C – середня теплоємність в інтервалі температур від t1 до t2.
t1
Враховуючи рівняння (1.33) та рисунок 1.3, а середню теплоємність можна визначити за рівнянням
C
t2
tq2
-1-
2t1
, (1.34)
t1
Величина середньої теплоємності залежіть від значень температур t1 і t2. Наводити значення теплоємності для кожного вільного інтервалу температур дуже незручно. Тому на практиці площу BEHD, яка графічно відповідає кількості теплоти q при нагріванні газу від температури t1 до температури t2, визначають як різницю площ OAHD і OAEB (рис.1.3, б). Площа OAHD відповідає кількості теплоти, яка необхідна для нагрівання газу від температури 0 оС до температури t2, а площа OAEB – кількості теплоти, яка необхідна для нагрівання газу від температури 0 оС до температури t1. Кожна з цих площ у свою чергу може бути подана у вигляді рівних за площею прямокутників OKLD i OMNB, висоти яких відповідають середнім значенням теплоємностей в даному інтервалі температур: для площі OKLD – від 0 оС до t2 ( C t2 ), для площі OMNB –
0 oC
від 0 оС до t1 ( C t1 ). За допомогою цих значень теплоємностей можна
0 oC
знайти значення середньої теплоємності в інтервалі температур від t1 до t2 за формулою
t2 t1
t C t - C t
C
t12
0oC t22
- t1
0oC 1 .
(1.35)
Значення середніх теплоємностей в інтервалі від 0 оС до температури t наводять у таблицях у довідниках (додаток Б). Побудовані за значеннями середніх теплоємностей криві відображають нелінійний характер залежності теплоємності від температури.
Для багатьох теплотехнічних розрахунків можна прийняти, що залежність теплоємності від температури має лінійний характер, і її можна розрахувати за рівнянням
C = a + b t, (1.36)
де a, b, – коефіцієнти, що залежать від природи газу, визначаються
експериментально і наводяться в довідкових таблицях (додаток В); t – середня температура процесу, t = (t1+t2)/2.
Після інтегрування рівняння (1.32) можна визначити кількість теплоти, необхідної на нагрівання тіла, через середню теплоємність:
Q = m C (t2 - t1). (1.37)
При виконанні приблизних розрахунків, особливо в невеликому інтервалі температур залежність теплоємності від температури не враховують і вважають, що С=const. Значення теплоємності при цьому приблизно можна розрахувати за формулами:
Cv = R / (k - 1) ; CP = k R / (k - 1), (1.38)
Масову Ссум і об’ємну С’сум теплоємності газових сумішей визначають за формулами:
Cсум = Σ (Ci gi ) ; C’сум= Σ (C’i ri ), (1.39)
де Ci – масова теплоємність окремого газу, Дж / (кг К); gi – масові частки окремих газів, що складають суміш;
C’i– об'ємна теплоємність окремого газу, Дж / (м3 К); ri – об'ємні частки окремих газів, що складають суміш.