2.1.5 Нестаціонарна теплопровідність

2.1.5.1 Загальні положення

На відміну від стаціонарного режимі температурне поле при нестаціонарному режимі змінюється з часом. Кількість теплоти, що передається при нестаціонарному режимі також змінюється, і тому нестаціонарний тепловий процес завжди пов’язаний з явищами нагрівання чи охолодження тіл.

З розрахунками нагрівання і охолодження тіл часто доводиться мати справу в різних галузях техніки. Ця задача зустрічається, наприклад, при нагріванні чи охолодженні стін приміщення, що обумовлено нерівномірністю роботи систем опалення, при тепловій обробці різного роду матеріалів і виробів у нагрівальних печах. У цьому випадку основним робочим режимом є нестаціонарний, при котрому визначають час, який необхідно затратити для прогріву матеріалу до необхідної температури, чи температуру, до якої виріб нагрівається протягом відомого проміжку часу. У промисловості нестаціонарний теплообмін фактично супроводжує всі процеси, яки пов'язані з нагріванням чи охолодженням матеріалів і виробів, а також процеси, що відбуваються при прогріванні огороджень під час пуску теплових установок, при акумулюванні теплоти обмуровуванням періодичних печей, подачі вагонеток тунельних печей і т. ін. У тунельних печах, призначених для термічної обробки масової продукції, вироби, які випалюються, встановлюють на вагонетки, що переміщаються уздовж печі і стикаються з газами різної температури.

Задача про поширення теплоти в умовах нестаціонарного режиму в загальному випадку не може бути вирішена аналітичним шляхом внаслідок її великої складності. Тобто неможливо знайти функцію t=f(х,у,z,τ), що одночасно задовольняла б як диференціальному рівнянню теплопровідності, так і відповідним умовам однозначності. Дійсно, у загальному випадку рух теплоти в тілі може відбуватися за всіма трьома координатними осями, і диференціальне рівняння теплопровідності (2.11) має вид

t  2t 2t 2t 

 ^ax2 y2 z2 a2t . (2.89)

Для рішення цього рівняння потрібно знайти постійні інтегрування, а для цього необхідно знать граничні умови даної задачі. Ці умови поділяються на часові і просторові (граничні). Часові крайові умови передбачають початковий розподіл температури в тілі і відносяться до моменту часу τ=0. Просторові крайові умови відносяться до поверхонь, які обмежують середовище, що розглядається. Ці умови можуть бути задані наступним чином:

1. задаються розподіл температури на поверхні тіла і її зміна в часі.

На практиці це зустрічається рідко;

2. задаються величина теплового потоку, що проходить крізь поверхню, і його зміни в часі. Відповідно до закону Фур'є q=-λ dt/dn, а це означає, що відомо кут нахилу дотичної прямої до температурної кривої в точці її перетинання з поверхнею. Температура поверхні тіла виявляється невідомою;

3. задаються температура t_о середовища, що оточує поверхню тіла, і коефіцієнт тепловіддачі α між середовищем і поверхнею. Цей спосіб є найбільш розповсюджений на практиці. Математично він записується формулою, яку можна одержати з порівняння законів Фур'є (2.6) і Ньютона-Ріхмана (2.20):

dt q  ñò і q (t_ñò t₀ ).

dn

Тоді можна записати

dt 

•  (t_ñò  t₀ ). (2.90) dn ñò

Якщо рівняння (2.90) записати у формі

• dt  (t^{ñò  t0 )}  ^t , (2.91) dn ñò ñò

 

то можна побачити, що третя умова визначає місце розташування точки, крізь яку повинні проходити всі дотичні до кривих, що відображають закономірність зміни температур на поверхні тіла в часі. Ця точка розташована на відстані λ_ст/α від поверхні тіла і називається напрямною.

У результаті рішення рівняння (2.89) повинна бути знайдена така функція, що одночасно задовольняла б цьому рівнянню і крайовим умовам. Розв’язання рівняння знаходиться за допомогою рядів Фур'є. Для різних крайових умов результати виходять різними, але методологія розв’язання в основному однакова.

Аналітичне розв’язання диференціального рівняння теплопровідності (2.89) можливо лише для деяких окремих задач при ряді спрощень. Зокрема, із задач, що мають найбільше практичне значення, є розв’язання для необмеженої плоскої стінки, круглого циліндра нескінченної довжини і кулі. Для технічних цілей у більшості випадків можна обмежитися розглядом перебігу процесу лише в одному напрямку х. У цьому випадку загальне розв’язання таке: - для плоскої стінки

 ^-amn2^ , (2.92) t  bx  c   A_n(cos m_nx  p_nsin m_nx)e

n1

- для циліндричної стінки

 ^-amn2^ , (2.93) t  b ln r  c   A_nJ_o m_nr p_nY_o m_nre

n0

де J_о і Y_о – функції Бесселя першого і другого роду нульового

порядку.

Сталі b і с визначаються з умов стаціонарності режиму (при τ = ∞), р_п і m_п – з граничних умов, а А_п – з початкових (при τ = 0) умов.

Так як докладний виклад розв’язань є досить складним, ми обмежимося розглядом лише кінцевих результатів розв’язання для плити і циліндра у випадку раптової зміни температури середовища. З рівнянь (2.92) і (2.93) випливає, що розподіл температури залежить від великої кількості параметрів. Однак при більш глибокому аналізі рішень виявляється, що ці величини можна згрупувати в три безрозмірні величини:

2 l, ατ/l ; αl/λ_ст; х/

де l – характерний розмір тіла. Якщо прийняти, що l дорівнює

товщині стінки l=δ, то ці відношення можна записати у виді:

2 = Fo – число Фур'є; (2.94)

ατ/δ

αδ/λ_ст = Ві – число Біо; (2.95)

х/δ = Х. (2.96)

Величина Х=х/δ є безрозмірною координатою. Величини Fo і Ві є числами або критеріями подоби, вони виходять з рівнянь (2.89) і (2.90). Число Фур'є називають безрозмірним часом, воно характеризує нестаціонарність режиму. Число Біо характеризує відношення термічного опору теплопровідності стінки δ/λ_ст (див. підрозділ 2.1.4.1) до термічного опору тепловіддачі 1/α (див. підрозділ 2.1.4.1).

Критерій Біо Ві являється кількісною мірою інтенсивності тепловіддачі з поверхні тіла α в порівнянні з інтенсивністю переходу теплоти зсередини тіла до його поверхні (теплова провідність стінки λ/δ).

Величина критерію Біо має велике значення при розвязанні будь-якої задачі теорії теплопровідності. Дійсно, якщо Bі<<1, то або мала тепловіддача з поверхні тіла, або велика теплова провідність стінки. В обох випадках це означає, що температурний перепад всередині стінки малий, і по всьому перерізу тіла температура може бути прийнята однаковою. Природно, що таке допущення значне спрощує розв’язання задачі нестаціонарної теплопровідності. При значенні критерію Bі>>1 виникає положення, протилежне попередньому, і згідно з рівнянням (2.95) можна стверджувати, що температура поверхні тіла стає практично рівною температурі навколишнього середовища (різниця t–t_сер є дуже малою), і весь процес в основному обумовлено явищем теплопровідності. Проміжний випадок, коли Bі1, є найбільш складним, тому спростити рішення задачі в даному випадку не вдається.

При розгляді процесів нестаціонарної теплопровідності вводять таке поняття як надлишкова температура , яка дорівнює різниці температури тіла і навколишнього середовища:

в початковий момент часу _o= t_о–t_сер, через деякий час τ = t–t_сер,

де t_о і t – температура стінки у початковий час і через деякий час τ, t_сер – температура середовища.

Відношення /_о називають безрозмірною температурою і

позначають θ, тобто

θ=/_о=(t–t_сер)/(t_о–t_сер). (2.97)

Тоді рівняння (2.92) і (2.93) у виді безрозмірної температури θ для деякої точки стінки, положення якої визначається безрозмірною координатою Х, можуть бути подані у виді залежності

θ =Ф (Bі, Fо, Х). (2.98)

Для прискорення розрахунків з визначення температур стінки при її нагріванні чи охолодженні на практиці користуються звичайно графоаналітичним методом, сутність якого полягає у використанні рівняння (2.98).

Значення функції θ в залежності від критеріїв Ві і Fo визначають графічним шляхом, для чого попередньо варто знайти лише числові значення цих критеріїв. Графіки зазвичай охоплюють широкий діапазон зміни критеріїв Ві і Fo, тому за їх допомогою можна розрахувати практично всі можливі випадки охолодження чи нагріву.