4.3.1 Дисперсия

Существенным недостатком лимита и амплитуды является то, что они полностью зависят от крайних значений признака в вариационном ряду. При этом не учитываются колебания значений признака внутри ряда. Наиболее просто определить однородность числового ряда с учетом всех значений составляющих этот ряд -через отклонения всех вариант от центра ряда (среднего арифметического), поскольку каждое отдельное наблюдение на какую-то величину не совпадает со средним арифметическим, Разность между конкретной вариантой и среднего арифметического из этого ряда называется отклонением от среднего d_i=(V_i -M). Такие отклонения от среднего (М=10) можно представить в графической форме.

Для получения обобщающей характеристики числового ряда использовать сумму отклонений от среднего нельзя. Это связано с тем, что сумма всех отрицательных и положительных отклонений от среднего всегда равна нулю. Можно избежать взаимной компенсации отклонений, беря квадраты отклонений, т.к. при возведении в квадрат отрицательные и положительные числа дают только положительные значения. При усреднении всех отклонений числового ряда, получается средний квадрат отклонений, который называется дисперсией - О. Алгебраическое выражение дисперсии где n – число наблюдений, d – отклонения вариант от среднего . Во взвешенном ряду дисперсия вычисляется по формуле .

Таблица 44

Способы вычисления дисперсии

Простой ряд			Простой ряд		Взвешенный ряд
V	d	d¹	V	V²	V	Р	VР	V²P
15	-2	4	15	225	15	1	15	225
1В	-1	1	16	256	16	3	48	768
17	0	0	17	289	17	5	65	1445
18	1	1	18	324	18	4	72	1296
19	2	4	19	361	19	2	38	722
M=17 Σd=0		Σd²=10	Σv²=1455		ΣP=15		ΣVP=258	ΣV²P=4456
D=10/5=2			D=1455/5 -17² =2		М=58/15=17,2 D=4456/5-17,2²=1,2

Упрощенные способы расчета дисперсии позволяют избежать вычислений отклонений d, В этом случае, для не сгруппированного ряда , где - сумма квадратов вариант ряда, М²- квадрат среднего арифметического, n - число наблюдений. Для сгруппированного ряда формула вычисления дисперсии упрощенным способом выглядит следующим образом , где - сумма произведении квадратов вариант ряда на их частоту, М²- квадрат среднего арифметического, -число наблюдений, определяемое как сумма частот.

Если в результате статистического наблюдения получены несколько групп значений признака, то для вычисления общей дисперсии можно группы в единую совокупность не объединять. Более того, если совокупность имеет большое число наблюдений (большой объем), то в случае «ручного» проведения вычислений целесообразно ее разбить на несколько групп. В том и другом случаях вычислением дисперсий отдельных групп можно заменить непосредственное вычисление общей дисперсии. Поскольку общая дисперсия равна сумме внутригрупповой и межгрупповой дисперсий. Это свойство дисперсий имеет большое теоретическое и практическое значение, являясь основой широко применяющегося в научных исследованиях дисперсионного анализа.

Формула для расчета общей дисперсии представлена выражением Dобщ=Dвнгр+Dмежгр., где:

Dобщ - общая дисперсия, дисперсия значений признака всей совокупности относительно общего среднего;
Dвнгр - внутригрупповая дисперсия, среднее арифметическое групповых дисперсий , взвешенных по объемам групп , где n - объем всей совокупности, N_j- обьем группы i; D_i - дисперсия группы i;

- Dмежгр - межгрупповая дисперсия , где n – объем всей совокупности, N_j – объем группы i.

Практический расчет общей дисперсии не представляет труда. Например: требуется найти общую дисперсию совокупности состоящей из двух групп. Вычисления проходят по следующим этапам:

1 Этап.

Таблица 45

Вычисление средних в первой и второй группе