4.3.6 Статистические моменты. Асимметрия и эксцесс

Для вычисления многих статистических характеристик удобно пользоваться эмпирическими (т.е. вычисляемых на основе результатов конкретных наблюдений) моментами. Формула для вычислений обычных эмпирических моментов - , где Vj – наблюдаемые варианты, Pj – их частоты, п - число наблюдений, к- степень( по рядок) момента, С- произвольное постоянное число.

Если С=0, то момент считается начальным. При к=1 (момент первого порядка) формула приобретает вид

Нетрудно заметить, что эта формула алгебраически является полным аналогом формулы для вычисления среднего взвешенного. Таким образом, начальный момент первого порядка равен среднему арифметическому.

Если при вычислении моментов коэффициент С принимается равным центру распределения - среднему арифметическому (С=М), то момент называется центральным моментом. При к=2(момент второго порядка} алгебраически формула приобретает вид, который соответствует формуле, используемой для вычисления дисперсии (Таблица 48). Отсюда: центральный момент второго порядка равен дисперсии.

Таблица 48

Начальные и центральные эмпирические моменты

Эмпирические моменты	Центр распределения С	К	Формула расчета	Область применения (статистический критерий)
Начальный момент (М1*)	0	1		Среднее арифметическое М=М1*
Центральный момент второго порядка (т2)	Среднее арифметическое	2		Дисперсия D=m2
Центральный момент третьего порядка (т3)	Среднее арифметическое	3		Асимметрия
Центральный момент четвертого порядка (т4)	Среднее арифметическое	4		Эксцесс

С помощью центральных моментов третьего и четвертого порядка удобно вычислять такие характеристики распределения, как асимметрия и эксцесс.

На представленном рисунке (Рисунок 67) полигон частот имеет явно скошенное в правую сторону асимметричное распределение. Количественное описание такой скошенности дается с помощью коэффициента асимметрии (А_S).

Рисунок 67.. Пример скошенного распределения

Величина А_s тем больше, чем больше выражена асимметрия. Знак величины этого коэффициента однозначно связан с направлением асимметрии. Если распределение вытянуто в сторону положительных значений (центр распределения принимается за нуль), то коэффициент А_s - положителен (А_s>0), в противоположном случае - отрицателен (А_s>0). Количественное описание эксцесса дается с помощью коэффициента эксцесса (Е). При В>0 распределение принято считать островершинным, при Е<0 - туповершинным.

Рисунок 68

4.4 Статистическая проверка статистических гипотез

Методологической основой любого исследования является формулировка рабочей гипотезы о результатах эксперимента. При этом целью эксперимента является получение данных, на основании которых выдвинутую еще до эксперимента, как говорят априори, гипотезу можно было бы принять, т.е. признать ее истинной, либо отвергнуть - признать гипотезу ложной.

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений. Например:

• генеральная совокупность распределена по закону Пуассона;

• дисперсии (разброс значений) двух совокупностей равны между собой.

В первом случае выдвинута гипотеза о виде неизвестного распределения. Во втором - о параметре двух известных распределений. Гипотеза «в четверг будет дождик» не является статистической, поскольку в ней речь не идет ни о виде, ни о параметрах распределения.

Выдвинутую гипотезу называют основной или нулевой (Н₀). Гипотезу, которая противоречит нулевой и является ее логическим отрицанием, называют конкурирующей или альтернативной (Н₁). Гипотезы Н₀ и Н₁ предоставляют выбор только одного из двух вариантов. Например: если нулевая гипотеза предполагает, что среднее арифметическое М=15, то логическим отрицанием будет М15. Коротко это записывается так: НО: М=15; Н115.

Простой называют гипотезу, содержащую только одно пред­положение. Простая гипотеза прямо указывает на некий опреде­ленный закон распределения (параметры распределений).

Сложной называют гипотезу, которая состоит из конечного или бесконечного множества простых гипотез. Например: сложная гипотеза Н: 0>15 состоит из бесчисленного множества простых вида Н: 0>16 Н: О>17 Н: О>18 и т.д. Таким образом, сложная гипотеза указывает не единственное распределение (параметры распределения), а какое-то множество, семейство распределений.

Выдвинутая гипотеза может быть правильная и неправильная, поэтому она проверяется. Поскольку это делают статистическими методами, то ее называют статистической проверкой. При статистической проверке могут быть допущены ошибки двух родов. Ошибка первого рода - отвергается гипотеза, когда в действительности она верна. Вероятность совершить ошибку первого рода называют уровнем значимости. Этот параметр принято обозначать через ос. В биологии и медицине уровень значимости принимают не выше 0,05. Это означает, что в 5 случаях из 100 (в 5%) мы рискуем допустить ошибку первого рода. Ошибка второго рода - принимается гипотеза, когда она не верна. Значимость ошибки второго рода обозначают символом Д Последствия этих ошибок могут быть различны. Если, например, отвергнут какой либо весьма эффективный метод лечения (ошибка первого рода), то скорее всего будут применяться другие, может быть менее эффективные методы. Последствия неправильного лечения (ошибка второго рода) могут быть более тяжкими. В другом варианте: человек не уехал на нужном ему поезде (ошибка первого рода) или сел на поезд, следующий в другом направлении (ошибка второго рода). Последствия ошибок в этой ситуации так же явно не однозначны. Анализ потерь и выигрышей при принятии правильных и неправильных решений является задачей самостоятельной дисциплины-теории принятия решений.

Для проверки нулевых гипотез используют специально подобранные величины - статистические критерии (К). Например, если проверяют гипотезу о равенстве дисперсий в двух совокупностях Н0: D1=D2, то в качестве критерия К принимают отношение дисперсий этих совокупностей . Эта величина случайная, потому что в различных опытах дисперсии могут принимать различные, наперед неизвестные, значения. Распределяется эта величина, называемая критерием Фишера, по закону Фишера-Снедекора.

Для проверки гипотез фактические величины критериев, полученные в результате опытов (К_набл), сравнивают с уже известными значениями таких критериев (К_факт). При этом, в зависимости от вида критериев учитываются число степеней свободы, объемы наблюдений и др. параметры.

При выборе того или иного критерия большое значение имеет факт, относится ли избранный критерий к семейству параметрических или к семейству непараметрических критериев. Использование параметрических критериев нормального распределения требует знания таких параметров нормального распределения, как дисперсии и средние. Например: В большинстве медико-биологических исследований для статистической проверки гипотез существенности различий используется параметрический критерий Стьюдента (t), который основан на предположении о принадлежности сравниваемых выборочных совокупностей к нормальному распределению и равенстве их дисперсий. На практике, в ходе статистического анализа часто никакой проверки соответствия исходных данных этим условиям не проводится. В то же время несоответствие таким условиям анализируемых совокупностей приводит к существенным ошибкам.

При оценках гипотез соответствия теоретических и фактических (эмпирических) распределений получение теоретических значений представляется некоторой проблемой. Для решения этой проблемы могут быть использованы следующие способы:

1. Наиболее оптимальный вариант - использование компьютерных статистических программ. С их помощью все необходимые вспомогательные данные (теоретические распределения, критические значения статистических критериев и т.п.) получаются автоматически. Результаты их сравнений с данными фактических наблюдений выводятся также автоматически.

2. Если для обработки на компьютере используются электронные таблицы типа Microsoft Exsel и т.п. до вычисление теоретических значений критериев и отдельных статистических характеристик можно осуществлять, используя встроенные функции математической статистики. С помощью этих функций генерируются и числовые ряды различных теоретических распределений.

3. В случае ручной обработки, для нахождения теоретических значений можно использовать специальные таблицы (См. Приложения). Иногда можно отказаться от таблиц, применяя приближенные оценки граничных значений критериев.

Все возможные значения выбранного критерия (в нашем примере критерия Фишера F) разбиваются на две части (два подмножества). Одна часть, содержащая значения критерия К_кр , при которых нулевая гипотеза отвергается, называется критической областью. Другая часть возможных значений критерия, при которых нулевая гипотеза принимается, называется областью принятия гипотезы. Если полученные значения критерия К^набл принадлежат критической области, то нулевую гипотезу отвергают. Если полученные значения К^набл принадлежат области принятия нулевой гипотезы, то ее принимают. Критическая область и область принятия гипотезы являются интервалами, разделяемыми критическими точками К_кр.

Различают одностороннюю (правостороннюю или левостороннюю) и двухстороннюю критические области.

Правосторонняя -критическая область определяется неравенством К_кр > К_кр (Рисунок 69 А), где К_кр - положительное число.

0 К_кр

K

K

К_кр 0

K

К_кр2 0 К_кр1

Рисунок 69. Схема распределения критических областей принятия гипотез.

Л

K

евосторонней, называют критическую область, определяемую неравенством К_кр<К_кр (Рисунок 69 В). Двухсторонней называют область, определяемую неравенством К_кр1<К_кр и К_кр< К_кр2 (Рисунок 69 С). Если вычисленное значение критерия Кнабл окажется в критической области, т.е. К_набл.= К_кр, то нулевую гипотезу отвергают. Если же К_набл≠ К_кр, то оснований отвергнуть нулевую гипотезу - нет.

В медико-биологических исследованиях используют как односторонние, так и двухсторонние критерии. На практике односторонние критерии применяются тогда, когда оценивается один из вариантов: либо одна выборка больше другой либо одна выборка меньше другой. Двухсторонние: когда оценивается соответствие одной выборки другой (отличается одна от другой?). На первый взгляд, логических различий здесь нет. Однако они весьма существенны.

Например: при исследовании изменений веса печени подопытных животных, по двум группам животных (контрольной и опытной) с нормальным распределением числовых значений, найдены исправленные (несмещенные) дисперсии D1=25 и D2=6. Требуется определить статистическую достоверность их различий. Поскольку изменения могут касаться и увеличения и уменьшения веса, применение одностороннего критерия исключается. Порядок рассуждений следующий. Число наблюдений в первой выборке составило 11, во второй -13. Наблюдаемое значение критерия Фишера . Поскольку распределение Фишера-Снедекора зависит от числа степеней свободы, для определения К_kкр вычисляются степени свободы k1=п1-1=11-1=10 и k2=п2-1=14-1=13, где n1 - объем выборки, по которой была вычислена большая исправленная дисперсия, и n2.- меньшая дисперсия.

При заданном уровне значимости Р=0,01 и степенях свободы k1=10 и k2=-13 находим правостороннюю критическую точку распределения К_кр=4,10. Если находить эту точку с помощью встроенных функций Мicrosof Ехсеl, то используют из меню Вставка/ Функция функцию FРАСПОБР. Эта функция воспроизводит теоретическое значение критерия с заданной вероятностью и степенями свободы. Функция FРАСП позволяет получать уровень значимости, соответствующий соотношению фактического и теоретического значений критерия F с заданными степенями свободы.

Поскольку вычисленный критерий F>F_kлр, то нулевая гипотеза, говорящая о равенстве дисперсий (НО:D1=D2), отвергается. Таким образом с вероятностью ошибки α не более 0,01 признается различие этих дисперсий.

Применение одностороннего критерия может быть следующим. Например: под воздействием одного из неблагоприятных факторов городской среды было отмечено снижение субъективных оценок здоровья в обследованной группе жителей города, по сравнению с контрольной группой жителей села. Значение критерия Стьюдента t, с помощью которого проверялась статистическая значимость выявленных различий, составило 1,8. Число степеней свободы в этом наблюдении было равно 25. Критическая точка распределения t критерия при Р=0,05 составляет 2,06 (К_набл< К_кр 1,8<2,06). Таким образом, вероятность нулевой гипотезы слишком высока, что бы ее можно было отвергнуть, т.е. нулевая гипотеза не может быть отвергнута. В случае использования одностороннего критерия критическая точка t критерия берется при значимости Р=0,1 и равна в этом случае 1,71. (К_набл> К_кр 1,8>1,71). При таком уровне значимости нулевая гипотеза Н_о может быть отвергнута и, соответственно, различия можно признать статистически достоверными. Поскольку в данной ситуации речь шла о воздействии неблагоприятного фактора внешней среды, ожидать улучшения здоровья в группе жителей города под воздействием этого неблагоприятного фактора не представляется реальным. Поэтому можно ориентироваться на результаты анализа с помощью одностороннего критерия. (В опытной группе может быть только хуже, чем в контрольной). В данном примере это существенно, так как при использовании двухстороннего критерия признать результаты статистически достоверными нельзя.

Следует помнить о том, что если нулевая гипотеза все же принимается, то это не значит, что тем самым она доказана. Один факт, подтверждающий какое либо положение, еще не доказывает его. Т.е. в этой ситуации можно только утверждать, что полученные результаты не противоречат предположению об отсутствии различий. Для подтверждения гипотезы, как правило, необходимы до­полнительные исследования или подтверждающие гипотезу дополнительные данные, которые получены каким либо другим путем. Отвергается гипотеза, как правило, более категорично, поскольку достаточно одного факта, чтобы отвергнуть любое сомнительное предположение.

В отношении статистических гипотез следует придерживаться общего правила: доказать на основании однократной или косвенной проверки гипотезу нельзя, а отвергнуть - можно.

Помимо вероятности (а) попадания критерия в критическую область при условии, что нулевая гипотеза справедлива, целесообразно учитывать и вероятность попадания критерия в критическую область, когда нулевая гипотеза неверна и, следовательно здоровья в обследованной группе жителей города, по сравнению с контрольной группой жителей села. Значение критерия Стьюдента t, с помощью которого проверялась статистическая значимость выявленных различий, составило 1,8. Число степеней свободы в этом наблюдении было равно 25. Критическая точка распределения t критерия при Р=0,05 составляет 2,06 (К_на6л<К_хр, 1,8<2,06). Таким образом, вероятность нулевой гипотезы слишком высока, что бы её можно было отвергнуть, т.е. нулевая гипотеза не может быть отвергнута. В случае использования одностороннего критерия критическая точка t критерия берется при значимости Р=0,1 и равна в этом случае 1,71. (К_набл> К_кр 1,8>1,71). При таком уровне значимости нулевая гипотеза Но может быть отвергнута и, соответственно, различия можно признать статистически достоверными. Поскольку в данной ситуации речь шла о воздействии неблагоприятного фактора внешней среды, ожидать улучшения здоровья в группе жителей города под воздействием этого неблагоприятного фактора не представляется реальным. Поэтому можно ориентироваться на результаты анализа с помощью одностороннего критерия. (В опытной группе может быть только хуже, чем в контрольной). В данной примере это существенно, так как при использовании двухстороннего критерия признать результаты статистически достоверными нельзя.

Следует помнить о том, что если нулевая гипотеза все же принимается, то это не значит, что тем самым она доказана. Один факт, подтверждающий какое либо положение, еще не доказывает его. Т.е. в этой ситуации можно только утверждать, что полученные результаты не противоречат предложению об отсутствии различий. Для подтверждения гипотезы, как правило, необходимы дополнительные исследования или подтверждающие гипотезу дополнительные данные, которые получены каким либо другим путем. Отвергается гипотеза, как правило, более категорично, поскольку достаточно одного факта, чтобы отвергнуть любое сомнительное предложение.

В отношении статистических гипотез следует придерживаться общего правила: доказать на основании однократной или косвенной проверки гипотезу нельзя, а отвергнуть – можно.

Помимо вероятности (α) попадания критерия в критическую область при условии, что нулевая гипотеза справедлива, целесообразно учитывать и вероятность попадания критерия в критическую область, когда нулевая гипотеза неверна и, следовательно, справедливо контролирующая. Такая вероятность называется мощность критерия. Т.е. мощность критерия вероятность попадания критерия в критическую область, при условии, что справедлива конкурирующая гипотеза. Следовательно, если вероятность ошибки принять неправильную гипотезу (ошибка второго рода) равна β то мощность равна 1-β Таким образом, чем больше мощность критерия , тем меньше вероятность ошибки второго рода.

На первый взгляд кажется, что для повышения точности статистических данных нужно просто уменьшить вероятности ошибок первого и второго рода. Однако, при неизменном объеме выборки, одновременно уменьшить β и α невозможно. При попытке уменьшить вероятность одной ошибки, неизбежно возрастает вероятность другой. Поэтому, вероятности ошибок выбирают с уче­том возможных последствий этих ошибок. Если к более тяжким последствиям ведут ошибки первого рода, то необходимо брать как можно меньшее значение α. Если более тяжелые последствия вызывают ошибки второго рода, то стараются снизить β. Единственный способ снизить одновременно вероятности ошибок первого и второго рода - увеличение объема выборок.