1. Элиминирование влияние третьего признака и выявление связи между первым и вторым производится по формуле:

2. Аналогичным образом производится элиминирование влияние второго признака и выявление связи между первым и третьим производится по формуле:

3. Затем проводится определение взаимосвязи третьего и второго признака по формуле: .

Например: требуется оценить взаимосвязь фактора длительности рабочего времени, усталости (число ошибок при корректурном тесте) и производительности труда (количества страниц текста, набираемого операторами) на персональном компьютере.

Таблица 64

Исходные данные для расчета частной корреляции

Время работы	Число ошибок	Число страниц текста
1	2	3
4	5	4
1	6	6
3	6	2
3	6	6
5	6	4
2	7	3
1	8	1
5	8	3
6	9	1
6	9	1

С помощью коэффициентов парной корреляции Пирсона получены результаты, на основании которых можно сделать вывод о влиянии на появление усталости длительности рабочего времени (r₂₃=0,4 связь прямая, средней силы), и снижении производительности труда по мере увеличения времени работы (г₁₃=-0,7 связь обратная, сильная). Между увеличением усталости и снижением производительности труда так же обнаружена статистическая связь (г₂₃= -0,4 обратная, средней силы).

На основе рассчитанных коэффициентов парных корреляций можно вычислить соответствующие коэффициенты частной корреляции.

Таблица 65

Итоговые значения коэффициентов корреляции

r12	0,4	r12,3	0,2
r23	-0,7	r23,1	-0,1
r13	-0,4	r13,2	-0,7

Анализ этих коэффициентов частной корреляции показывает, что при устранении влияния фактора усталости (3), произошел существенный сдвиг показателя r_23,1 т.е связь между усталостью и производительностью труда обследованных работников практически полностью исчезла (r_23,1=-0,1). Следовательно снижение выработки продукции (количество набранного текста) к концу рабочего дня связано в первую очередь не с нарастанием усталости, а какими то другими, возможно, организационными причинами.

6.1.6 Понятие о множественной корреляции

Метод множественной корреляции обычно применяется для характеристики совместного, совокупного влияния всего комплекса факторов на результативный признак. Изменяется величина коэффициента множественной корреляции по абсолютному значению, в таких же пределах (от 0 до 1), как и коэффициент парной или частной корреляции. Вычислить коэффициент множественной корреляции можно при помощи коэффициентов частной линейной корреляции по формуле (для трех признаков).

На основании коэффициента множественной корреляции определяется коэффициент детерминации. (0,75²=0,6) который показывает долю (60%) совместного влияния 2 и 3 признака.

6.2 Вычисление коэффициентов корреляции и уравнения регрессии в MS Excel

В MS Excel имеется несколько встроенных функций предназначенных для корреляционного и регрессионного анализа. Наиболее простейшая из них – КОРРЕЛ. Эта функция вычисляет коэффициент парной линейной корреляции.

Пример: Введите исходные данные в таблицу. (Рисунок 82).

Рисунок 82. Расположение исходных данных для вычислений корреляции и регрессии

С помощью пиктограммы или из меню «вставка» выполните команду «функция». В появившемся окне мастера функций выберите КОРРЕЛ (Рисунок 83).

Рисунок 83 Окно мастера функций

Нажмите [ОК] и в появившемся следующем окне укажите координаты ячеек, в которых расположены числовые массивы исходных данных (Рисунок 84). После завершения вода координат появится значение коэффициента корреляции.

Рисунок 84. Заполнение полей окна функции КОРРЕЛ

В пакете «Анализ данных» так же имеется функция, позволяющая вычислять коэффициент корреляции.(Рисунок 85).

Рисунок 85

С помощью этой функции можно вычислять парные коэффициенты корреляции последовательно из нескольких рядов числовых данных.

Для примера используем имеющиеся исходные данные (Рисунок 82). После ввода интервала ячеек (окно «Входной интервал»), в которых расположены исходные данные (Рисунок 86), .указывается способ группировки исходных данных (по строкам или столбцам таблицы), наличие меток (заголовки столбцов) и место вывода готовых результатов (Параметры вывода). Нажатие на клавишу [ОК] приведет к выводу матрицы результатов парного анализа содержимого столбцов в различных сочетаниях (Рисунок 87).

Рисунок 86

На полученной матрице результатов видно, что корреляция числовых рядов, расположенных в столбцах 1 и 2 r₁₂= -0,907 (связь сильная, обратная), столбцов 1 и 3 r₁₃= -0,406 (связь средняя, обратная), столбцов2 и 3 г₂₃=0,13 (слабая, прямая).

Примечание. К сожалению, в МS Ехсеl отсутствуют функции прямого определения статистических ошибок и оценки достоверности различий коэффициентов корреляций. При желании, эти параметры могут быть относительно просто определены вручную (См. разделы «Коэффициент линейной корреляции» и «Оценка различий коэффициентов корреляции»).

Одним из самых удобных и практичных способов корреляционного и регрессионного анализа в Ехсеl - и использование пакета построения графических изображений («Вставка», «Диаграмма»). Для примера используем имеющиеся исходные данные (Рисунок 82).

В окне мастера диаграмм необходимо выбрать точечный тип диаграммы и её вид без соединений точек (Рисунок 88). Затем нажмите кнопку [Далее].

Рисунок 88. Выбор параметров диаграммы для регрессионного анализа

В следующем окне мастера диаграмм установите диапазон - ячеек с исходными данными. После этого необходимо проверить в окне «ряд» какие данные попадают в ряд X, а какие в ряд Y. Здесь необходимо быть внимательным, так как регрессия X от Y иY от X это не одно и то же! После проверки нажмите кнопку [Готово].

С помощью редактора диаграмм откорректируйте внешний вид диаграммы (См. раздел Графические изображения).

На появившейся диаграмме, выделите щелчком левой клавиши мыши ряд полученных точек, а затем щелчком правом клавиши мыши вызовите список команд и выберите из них; «Добавить линии тренда» (Рисунок 89).

Рисунок 89. Вызов команды установки линии тренда

В окне «Линии тренда» установите «Тип» «Линейная» (Рисунок 90).

Рисунок 90. Установка типа линий тренда

Затем выделите в окне «Параметры» поля: «показывать уравнение регрессии» и «поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации».

На диаграмме появится окно с автоматически вычисленным уравнением линейной регрессии, а также значение R², которое показывает, насколько точно соответствует вычисленное уравнение регрессии, истинной взаимосвязи параметров Y и Х (Рисунок 91). Максимально возможное значение R²=1,0 или 100%. В данном примере, в случае использования аппроксимации (сглаживания) с помощью линейной регрессии, R²=0,8235 или 82,35% (См. разделы «Коэффициент линейной корреляции» и «Коэффициент детерминации»).

С помощью этого коэффициента можно путем подбора выбрать уравнение регрессии наиболее полно аппроксимирующее ту или иную взаимосвязь. Например, при анализе этих же исходных данных полином 3 степени дает более полную аппроксимацию, поскольку R²=0,9764 (Рисунок 91).

Рисунок 91. Различные варианты регрессионного сглаживания

Кроме того, поскольку R²-есть квадрат коэффициента корреляции, то отсюда легко найти коэффициент корреляции. Для этого достаточно извлечь из R² квадратный корень. В данном примере, в случае линейной корреляции . В случае криволинейной корреляции . Вид коэффициента корреляции (линейный или не линейный) устанавливается на основе использованного при аппроксимации уравнения регрессии. Знаки коэффициентов корреляции устанавливаются соответственно положению на графике линии регрессии. В данном примере угол наклона свидетельствует о том, что связь обратная. Т.о. коэффициенты корреляции отрицательны (-0,907 и -0,989).

С помощью рассмотренной функции мастера диаграмм можно производить прогнозирование значений Y. Для этого при подготовке к аппроксимации данных нужно в окне «параметры» «линия тренда» (Рисунок 90) установить величину Х (единиц интервала ряда X вперед или назад).

Ошибку уравнения регрессии, точнее вычисляемой с помощью уравнения регрессии величины Y, можно определить с помощью функции СТОШХУ (Рисунок 92).

Рисунок 92. Вычисление ошибки уравнения регрессии

Более глубоко регрессионный анализ позволяет проводить надстройка Ехсеl «Пакет анализа». Главным достоинством этого пакета является всесторонняя оценка достоверности полученных результатов.

Для выполнения расчетов с помощью надстройки «Пакет анализа»:

1. Выполните команду <Пакет анализа> из меню <Сервис>. Должно появится диалоговое окне «Анализ данных».

2. Выберите метод «Регрессия» и нажмите кнопку [ОК].

З. В появившемся окне «Регрессия» введите входной интервал У, т.е. ссылку на диапазон анализируемых зависимых данных: $В$2:$В510.

Примечание: Этот диапазон должен состоять из одного столбца.

Затем введите входной интервал Х_; т.е. ссылку на диапазон независимых данных, подлежащих анализу: $А$2:$А$10.

Примечание: Независимые переменные должны состоять из одного или нескольких столбцов, расположенных слева направо. Максимальное число независимых переменных равно 16.

4. Не устанавливайте флажок «Метки», т.к. в данном примере первая строка входного интервала не содержит заголовка.

Не устанавливайте флажок «Уровень надежности», т.к. уже данная величина 95% нас устраивает. Этот флажок устанавливается, чтобы включить в выходной диапазон уровень надежности, который будет использован дополнительно к уровню 95%, применяемому по умолчанию.

Не устанавливайте флажок «Константа-ноль», т.к. линия регрессии, которую мы анализируем, не проходит через начало координат.

Установите переключатель «Выходной интервал», чтобы вставить результаты анализа, начиная с ячейки А16. Остальные ячейки для вывода данных будут установлены автоматически.

Примечание: Для получения результатов на другом листе установите переключатель «Новый рабочий лист».

Рисунок 93. Выходные данные пакета регрессионного анализа

Кроме того, в окне «Регрессия» можно установить флажки:

«График подбора», чтобы построить диаграммы наблюдаемых и предсказанных значений для каждой независимой переменной.

«Остатки», чтобы включить остатки в выходной диапазон.

«Стандартизированные остатки», чтобы включить стандартизированные остатки в выходной диапазон.

«График остатков», чтобы построить диаграмму остатков для каждой независимой переменной.

«График нормальной вероятности», чтобы построить диаграмму нормальной вероятности.

5. После завершения настройки параметров нажмите кнопку [ОК]

Результаты регрессионного анализа будут состоять из трех таблиц (Рисунок 93) и одного графика.

Первая таблица содержит значение корреляции и коэффициента детерминации (квадрата выборочного коэффициента корреляции Пирсона), являющегося показателям качества подобранной регрессионной модели. В нашем примере R²=0,82, т.е. около 82% вариации Y объясняется полученным уравнением регрессии.

Стандартная ошибка (ячейка А22) показывает стандартную ошибку вычисляемых значений Y.

Вторая таблица содержит результаты дисперсионного анализа с помощью которого проверяется нулевая (Н₀) статистическая гипотеза о равенстве нулю всех вычисленных коэффициентов регрессии. Эта таблица включает следующие параметры:

- df – число степеней свободы,

- SS – сумма квадратов,

- MS – средний квадрат (дисперсия),

- F – F – статистика Фишера,

- Значимость F – значимость критерия Фишера.

В данном случае, основной результат дисперсионного анализа состоит в том, что уравнение линейной регрессии является значимым т.к. полученная значимость Р=0,00074 меньше 0,05. Таким образом отвергается (Н₀) гипотеза о равенстве нулю всех коэффициентов уравнения регрессии.

В третьей таблице представлены результаты вычисления коэффициентов уравнения регрессии Y=α+βХ: Коэффициент α=7,984 и коэффициент β=0,514. Таким образом, оценка уравнения регрессии имеет вид Y=7,984-0,514Х.

Остальные результаты позволяют проверить значимость полученных коэффициентов α и β уравнения регрессии, т.е. проверить нулевые гипотезы: На=0, Hb=0, используя t – критерий.

Коэффициенты α и β значимы, т.к. абсолютные значения критерия и больше t_kp=2.36, найденного при значимости р=0,05 и числе степеней свободы v=9-1-1=7.

То, что нулевые гипотезы отвергаются, подтверждается и величинами значимости, равными 0,0000167 для коэффициента α и 0,0007239 для коэффициента β.

Следовательно, доказано наличие сильной зависимости между переменными X и Y.

6.3 Корреляция качественных признаков

Задачей статистического анализа взаимосвязей между качественными признаками является количественная характеристика этой связи, которая называется взаимой сопряженностью. Оценка сопряженности данных, сгруппированных по качественному признаку, базируется на статистической обработке частот распределения. Табличным представлением взаимного распределения группировок двух качественных признаков является таблица взаимной сопряженности.

Визуально, с помощью таблицы сопряженности или на диаграмме можно видеть взаимосвязь в распределении частот, однако количественную характеристику этой связи могут дать только различные коэффициенты сопряженности. Выбор того или иного коэффициента диктуется характером исходных данных и необходимой точностью анализа.

Достоинствами коэффициентов сопряженности являются:

1. Относительная простота их вычисления,

2. Возможность с их помощью обрабатывать не только качественные, по своей природе признаки, но и количественные признаки, которым после группировки можно придать характер качественных.