7.5.1 Критерий знаков

Критерий знаков - самый простой. Основан на подсчете числа пар однонаправленных эффектов в парных выборках. При его определении учитываются не числовые значения, а только лишь знак различия попарно связанных вариант. Например: при пульмонологическом обследовании в группе промышленных рабочих, состоящей из 20 человек, у пяти после приема бронхолитиков был выявлен скрытый бронхоспазм. Требуется установить, является ли появление бронхоспазма в этой группе статистически значимым или выявленные эпизоды можно считать случайными. Находим число знаков (+ или -, "да" или "нет"), которые меньше всего встречались. В приведенном примере таких случаев – 5.

Критическое значение критерия знаков (См. приложение) при доверительной вероятности 0.05 и числе наблюдений 20 равно 6. Таким образом, различия можно было бы признать статистически существенными (отвергнуть нулевую гипотезу - «разницы в среднем нет»), если бы число эпизодов было бы не менее 6. Поскольку это условие не выполнено (фактическое число различий 5), можно считать появление случаев бронхоспазма в испытуемой группе статистически случайным.

При использовании критерия знаков учитывается не вся информация, содержащаяся а экспериментальных данных, поскольку используются только знаки данных, но не их величины. Это обстоятельство снижает мощность критерия, т.е. повышает вероятность признания нулевой гипотезы (разницы нет), при том, что справедлива конкурирующая гипотеза (разница есть). Среди более мощных непараметрических критериев, которые используют не только знак разности, но и величину разности рангов, относительно часто используется критерий Вилкоксона.

7.5.2 Критерий Вилкоксона

Критерий Вилкоксона U {Вилкоксона - Манна- Уитни) - один из исторически первых критериев такого рода. Позволяет сравнивать центральные тенденции в разных совокупностях на основе ранговых распределений при независимых выборках с разным числом наблюдений. Для этого критерия существенны не сами числовые значения наблюдений, а их ранговое расположение. Например:

Таблица 76

Распределение показателей частоты пульса

Ранжированные значения частоты пульса		Инверсии
Мужчины	Женщины
70
	71
72		1
73		1
74		1
	75
76		2
	77
	78
79		4
80		4
7	4	13

При оценке показателей частоты пульса у мужчин и женщин в конце рабочего дня были получены следующие результаты. У мужчин 72,70,74,73,80,79,76, у женщин 75, 78, 71, 77 уд/мин,

В примере (Таблица 76) представлен ранжированный ряд этих значений. Различия между двумя группами можно считать наиболее существенными, если после всех значений одного ряда будут располагаться значения второго ряда. Однако в реальном некоторые отклонения - инверсии. Число инверсий подсчитывают через U. В приведенных распределениях перед значениями пульса у мужчин 72,73,74 стоит одна инверсия (71). Перед значением 76, стоят две инверсии (71 и 75) и т.д. Общая сумма инверсий - 13. По таблице приложения определяем, что для числа наблюдений 7 и 4 максимальное значение U, при котором различия еще достоверны, равно 3 при доверительной вероятности 0,05. При доверительной вероятности 0,01 значение U не должно превышать 1. Следовательно, признавать различия достоверными, оснований нет.

7.6 Оценка различия между несколькими средними. Дисперсионный анализ

Одним из способов определения различий или, наоборот, схожести нескольких групп наблюдения является дисперсионный анализ. Если этот анализ показывает, что не только дисперсии, но и средние в исследуемых группах тоже одинаковы, то можно считать эти группы статистически схожими по анализируемому признаку. Уверенность в схожести позволяет в ходе обработки результатов объединять группы и тем самым получать значительно более полную и статистически более достоверную информацию.

Более сложной задачей, решаемой с помощью дисперсионного анализа, является факторный анализ. Такой анализ позволяет оценить существенность влияния некоторого качественного фактора на изучаемую величину, точнее на ее результирующие показатели. В зависимости от глубины исследования оценивается влияние факторов (многофакторный анализ).

Условия применения дисперсионного анализа:

- нормальность распределения анализируемых групп или соответствие выборочных групп генеральным совокупностям с нормальным распределением;

- независимость (не связанность) распределений наблюдений в группах.

В основе дисперсионного анализа лежит анализ отклонений всех единиц исследуемой совокупности от среднего арифметического. При этом основной идеей является сравнение отклонений, вызываемых воздействием факторного признака (фактора), с величиной отклонений, вызываемых случайными обстоятельствами. Если отклонения вызываемые факторным признаком более существенны, чем случайные отклонения, то считается, что фактор оказывает существенное влияние на результирующий признак. В качестве меры отклонений берется дисперсия - средний квадрат отклонений. Чтобы её вычислить, значения отклонений каждой варианты (каждого зарегистрированного числового значения) от среднего арифметического возводят в квадрат. Тем самым избавляются от отрицательных знаков. Затем эти разности суммируют и делят на число наблюдений, т.е. усредняют отклонения. Таким образом, получают значения дисперсий.

При выполнении всех условий применения дисперсионного анализа, разложение общей дисперсии математически выглядит следующим образом: D_общ=D_факт+D_ост, где:

D_общ - общая дисперсия, наблюдаемых значений (вариант), характеризуется разбросом вариант от общего среднего;

D_факт -факторная (межгрупповая) дисперсия, характеризуется разбросом групповых средних от общего среднего;

D_ост -остаточная (внутригрупповая) дисперсия, которая характеризует рассеяние вариант внутри групп. Иногда её называют дисперсией ошибки, поскольку она обычно не может быть предсказана или точно объяснена.

При этом виде статистического анализа рассматриваются качественные группы вариант, т.е. группы сформированные по качественному признаку (полу, профессии, диагнозам заболеваний и т.п.).. При непрерывно меняющихся значениях вариант группировка совокупности производится по интервалам значений факторов. Например: распределение обследованных по полу мужчины и женщины (дискретные группы), распределение обследованных по возрасту: 20-29 лет, 30-39 лет и т.д. (сгруппированный непрерывный ряд). Варианты в группах, в свою очередь, могут быть дискретными (прерывными) или непрерывными

Не вдаваясь в детали математического обоснования методики вычисления различных данных в ходе дисперсионного анализа, можно выделить следующие последовательные этапы

- Вычисление средних квадратов отклонений;

- Вычисление дисперсий;

- Сравнение факторной и остаточной дисперсий. Оценка результатов с помощью теоретических значений распределения Фишера-Снедекора.

Вычисление средних квадратов отклонений включает:

1). Вычисление общей суммы квадратов отклонений наблюдаемых вариант от общего среднего , где р - число повторностей, q - число групп факторного признака, -суммы квадратов наблюдаемых значений (вариант V) по группам, - суммы наблюдаемых группам.

2).Вычисление факторной суммы квадратов отклонений групповых средних от общего среднего, которая характеризует разброс между группами (межгрупповая сумма квадратов):

3).Остаточную (внутригрупповую) сумму квадратов отклонений вычисляют из разности Sост=Sобщ-Sфакт

Примечание. В специальной литературе и пособиях можно встретить обозначение средних квадратов отклонений в виде символов SS от английского Sum of Squares (сумма квадратов).

На основании значений сумм квадратов отклонений определяются несмещенные оценки факторной и остаточной дисперсии D_факт =Sфакт/(р-1) и D_оcт =Sост /р(q-1), где - q число групп факторного признака, -р-число испытаний (повторностей).

Для более подробного рассмотрения метода, ограничимся относительно простым случаем однофакторного анализа, когда на результирующий признак воздействует один фактор. Главным условием использования однофакторного дисперсионного анализа является повторность опытов (наблюдений).

Например: Требуется методом дисперсионного анализа пропить нулевую гипотезу о равенстве средней продолжительности заболеваний хроническим бронхитом, повлекшим временную нетрудоспособность рабочих основных профессиональных групп: станочники, слесари, прочие. Выборки сделаны на предприятии из 4 цехов с близкими условиями и характером труда работников, иначе с 4 повторностями.

Таблица 77

Длительность заболевания хроническим бронхитом. (Исходные данные)

Номер цеха (повторности)	Факторный признак (профессия)
	Уровни фактора (])
	Станочники	Слесари	Прочие
1	10	5	4
2	14	11	6
3	9	7	11
4	12	8	4
В среднем Мspi	11	8	6
Общее среднее M=8,42

Для упрощения расчетов вычтем из каждой варианты исходных данных число равное общему среднему (8.42). На конечный результат такое преобразование не окажет влияния, но значительно облегчит «ручные» вычисления.

Таблица 78

Длительность заболевания хроническим бронхитом (Исходные данные уменьшены на величину среднего арифметического = 8,42)

Номер цеха (повторности)	Факторный признак (профессия)
	Уровни фактора
	Станочники	Слесари	Прочие
1	1.6	-3,4	-4,4
2	5,6	2,6	-2.4
3	0,6	-1,4	2,6
4	3,6	-0,4	-4,4
Я/	11,4	-2,7	-8,7
п?	128,4	7,1	75,1
ΣRj2 =210,7

Все значения, находящиеся в клетках таблицы возведем в квадрат

Таблица 79

Длительность заболевания хроническим бронхитом. (Предыдущие данные возведены в квадрат)

Номер цеха (повторности)	Факторный признак (профессия)
	Уровни фактора
	Станочники	Слесари	Прочие
1	2,5	11,7	19,5
2	31,2	6,7	5,8
3	0,3	2,0	6, '7
4	12,8	0,2	19,5
ΣР2i	46,9	20,5	51,5
ΣR2=118, 9

Используя полученные в таблице промежуточные данные и учитывая, что число уровней фактора 3, число повторов 4, получаем:

1. Общую сумму квадратов отклонений Sобщ=118,9-0=118,9

2. Факторную сумму квадратов Sфакт1=210,7/4-0=52,7

3.Находим остаточную сумму квадратов отклонений Sост=Sо6щ,-Sфакт=^ 8,9-52,7=66,3

4.Находим факторную и остаточную дисперсии Dфакт =52,7/ (3-1 )=26.3 Dост =66,3/3(4-1 }=7,4

5.Сравниваем факторную и остаточные дисперсии по критерию Фишера . Учитывая, что число степеней свободы числителя равно 2 (число групп-1), а знаменателя 9 (число всех наблюдений-1) и уровень значимости 0,05 , с помощью встроенной функции Microsoft Exel или по таблице находим критическую точку Р=4,3. Так как полученные данные не превышают критического значения, нулевую гипотезу об отсутствии различий групповых средних (о равенстве средних) отвергать нет основания. Другими словами, группы, в целом, статистически не различаются. Поскольку значимых различий длительности заболевания в профессиональных группах не выявлено, говорить о статистически существенном влиянии факторного признака (профессионального фактора) на величину вариант (длительность заболевания хроническим бронхитом) также нет оснований.

Если такой итог не устраивает исследователя, то можно попробовать сравнить отдельные пары, наиболее «ярко» различающихся групповых средних с помощью критерия Стьюдента. При большом объеме наблюдений и большом количестве групп, на которые разделен факторный признак, этот прием может дать положительный результат.

При оценке результатов дисперсионного анализа необходимо помнить, что при его корректном использовании должно выполняться равенство дисперсий Dобщ=Dфакт+Dост. В приведенном примере D=118,9/(12-1 )=10,8.

Следует обратить внимание на весьма распространенную ошибку, которая часто встречается при оценке полученных в результате дисперсионного анализа результатов. Например: соотношение вычисленного значения Dобщ=10,8. и суммы ранее вычисленных дисперсий вместо равенства, казалось бы образует неравенство 10,8*26,3+7,4. Можно предположить, что причиной такого несоответствия фактических данных и теоретических предпосылок является нарушение одного или сразу обоих условий применения дисперсионного анализа: независимость групповых распределений и их соответствие нормальному распределению. Однако выявленное несоответствие объясняется довольно просто: при суммировании остаточной и факторной дисперсий не были учтены их весовые значения. (Весовые значения дисперсий, как известно, определяются числом наблюдений, на основании которых они получаются).

Таким образом, результаты, приведенного в качестве примера, анализа, следует признать корректными.

В практике медико-биологических исследований нередко встречается необходимость анализировать большее число взаимодействующих факторов. Решение таких задач вызывает резкое увеличение громоздкости дисперсионного анализа. Например: если при однофакторном комплексе взаимоотношение дисперсий устанавливается из равенства Dобщ=Dост=Dфакт, то при двухфакторном комплексе (с повторениями) используется равенство Dобщ=Dост+Dа+Dв+Dав, где Dа- дисперсия фактора а, Dв - дисперсия фактора в, Dав -дисперсия эффекта взаимодействия. При трехфакторном величина общей дисперсии равна Dобщ=Dост+Dа+Dв+Dс+Dав+Dвс+ас, где Dав, Dвс, Dас - дисперсии эффектов соответствующих взаимодействий.

Другой причиной, которая затрудняет проведение многофакторного дисперсионного анализа, является необходимость располагать исходные данные в виде комбинационных таблиц, которые требуют большого числа наблюдений. Выполнить это требование в условиях обычного медико-биологического исследования крайне трудно. Поэтому обычно используются только однофакторные, максимум двухфакторные дисперсионные комплексы. Многофакторные комплексы можно обрабатывать путем последовательного анализа выделяемых из всей анализируемой совокупности одно или двухфакторных комплексов.

7.7 Дисперсионный анализ в МS Ехсеl

В программе МS Ехсеl для статистического анализа данных имеется надстройка «Пакет анализа», которая позволяет проводить дисперсионны анализ следующих видов:

- однофакторный дисперсионный анализ;

- двухфакторный дисперсионный анализ без повторений;

- двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями.

7.7.1 Однофакторный дисперсионный анализ

Условием применения такого анализа является повторность данных.

Например: Необходимо оценить влияние условий и характера труда (в данном случае профиля цеха) на заболеваемость рабочих острым и хроническим гастритом. Повторность данных – обеспечена наблюдением за работниками предприятий, схожими по профилю. Исходные данные представлены в таблице (Рисунок 104):

Согласно таблице исследуемый фактор имеет 3 уровня (доменный, мартеновский и прокатный цеха). В каждой группе имеются только по 4 наблюдения (повторности).

Рисунок 104. Исходные данные однофакторного комплекса

Для решения задачи в МS Ехсеl:

1. Сформируйте таблицу с исходными данными (Рисунок 104).

2. Выберите Пакет анализа из меню Сервис.

3. В соответствии с условиями задачи выберите в появившемся диалоговом окне метод Однофакторный дисперсионный анализ и нажмите кнопку [ОК].

4. В окне Однофакторный дисперсионный анализ установите для входных данных следующие параметры:

• входной интервал ($В$4:$0$7);

• метки (выбранный нами входной диапазон не содержит метки, т.е. названий строк и столбцов);

-альфа (уровень значимости =0,05).

5. Для параметров вывода установите переключатель в положение Выходной интервал и укажите клетку с координатой (Е1).

б. После завершения настройки параметров нажмите кнопку [ОК].

Диалоговое окно с заполненными исходными параметрами должно выглядеть следующим образом

Рисунок 105. Окно исходных параметров однофакторного дисперсионного комплекса

Результаты дисперсионного анализа будут состоять из двух таблиц. В первой таблице для каждого столбца исходной таблицы, в которых располагаются анализируемые группы, приведены числовые параметры: количество чисел (счет), суммы по столбцам, средние дисперсии по столбцам (Рисунок 106).

Рисунок 106. Результаты анализа однофакторного комплекса

Во второй части результатов MS Excel использует следующие обозначения:

SS – сумма квадратов;

Df – степени свободы;

MS – средний квадрат (дисперсия);

F-F – статистика Фишера (фактическое значение);

P-значение – значимость критерия Фишера;

F-критическое – критическое значение F – статистики при Р=0,05.

Таким образом, сумма квадратов, обусловлена влиянием исследуемого фактора (межгрупповая сумма), равна 601,5. Остаточная сумма квадратов (внутригрупповая) равна 699,09. Соответствующие дисперсии межгрупповая (для исследуемого фактора) – 300,8, остаточная, внутригрупповая – 77,7.

Основной вывод из полученных результатов заключается в следующем:

Есть основния не отвергать нулевую гипотезу об отсутствии влияния рассмотренного фактора (условия и характер работы в разных цехах) на заболеваемость рабочих гастритом: F<F_кр., величина значимости Р=0,06. Для отрицания нулевой гипотезы она должна быть не более 0,05.

7.7.2 Двухфакторный анализ с неповторяющимися данными

Для удобства работы возьмем уже использованные данные в предыдущем примере данные. Однако рассмотрим их несколько иначе. Будем считать, что мы оцениваем влияние на заболеваемость рабочих гастритом уже двух факторов: условий труда на рабочих местах (цех) и заводских условий (№ завода).

Рисунок 107. Исходные данные двухфакторного комплекса

Согласно таблице (Рисунок 107) первый фактор имеет три уровня, три столбца: (доменный, мартеновский или прокатный цех). Второй фактор имеет четыре уровня, четыре строки: (1 завод, 2 завод, 3 завод или 4 завод).

Для решения задачи в МS Ехсе1;

1 .Сформируйте таблицу с исходными данными (рисунок 106).

2.Выполните команду Пакет анализа из меню Сервис.

З.В соответствии с условиями задачи выберите в появившемся диалоговом окне метод Двухфакторный дисперсионный анализ без повторений и нажмите кнопку [ОК].

4.В окне Двухфакторный дисперсионный анализ без повторений установите для входных данных следующие параметры:

• входной интервал ($В$4:$О$7);

• метки (выбранный нами входной диапазон не содержит метки, т.е. названий строк и столбцов);

• альфа (уровень значимости =0,05).

5.Для параметров вывода установите переключатель в положение Выходной интервал и укажите клетку с координатой (Е1).

6.После завершения настройки параметров нажмите кнопку [ОК].

Диалоговое окно с заполненными исходными параметрами должно выглядеть следующим образом (Рисунок 108)

Рисунок 108. Окно исходных параметров двухфакторного дисперсионного комплекса без повторений

Результаты дисперсионного анализа будут состоять из двух частей. В первой части для каждой строки и каждого столбца исходной таблицы приведены числовые параметры: количество чисел (счет), суммы по столбцам и строкам, средние и дисперсии (Рисунок 109).

Рисунок 109. Результаты анализа двухфакторного комплекса без повторений

Во второй части результатов МS Ехсеl использует следующие обозначения:

SS - сумма квадратов,

df- степени свободы,

МS - средний квадрат (дисперсия),

F - F-статистика Фишера (фактическое значение

Р-значение - значимость критерия Фишера,

F-критическое - критическое значение F-статистики при Р=0,05.

Сумма квадратов, обусловленная влиянием первого фактора (столбцы-наименование цеха), равна 601,5. Сумма квадратов, обусловленная влиянием второго фактора (строки-номер завода) равна 102,04. Остаточная, внутригрупновая дисперсия, которая в таблице результатов названа «погрешность» равна 597,05.

Из полученных результатов можно сделать следующий вывод:

Есть основания не отвергать нулевую гипотезу об отсутствии влияния двух рассмотренных факторов (условий труда на рабочих местах и заводских условий) на заболеваемость рабочих гастритом. Величина значимости Р превышает в обоих случаях 0,05.

7.7.3 Двухфакторный анализ с повторяющимися данными

Двухфакторный анализ с повторяющимися данными позволяет учесть как влияние отдельных факторов, так и их совместное действие на результативный признак. Рассмотрим пример применения двухфакторного дисперсионного анализа с повторениями.

Рисунок 110. Исходная таблица для двухфакторного дисперсионного комплекса с повторениями

Исследуем влияние на заболеваемость рабочих гастритом уже двух факторов: условий труда на рабочих местах (цех) – фактор 1; влияние заводских условий (№ завода) - фактор 2. В качестве повторностей наблюдения будем рассматривать повторения наблюдений в течение трех лет.

Исходный статистический комплекс представлен а Ехсеl-таблице (Рисунок 109).

Для решения задачи в MS Excel:

1. Выполните команду Пакет анализа из меню Сервис.

2. В появившемся диалоговом окне нужно выбрать метод Двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями и нажать кнопку (ОК).

3. В окне Двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями установите для входных данных следующие параметры:

- входной интервал ($В$3:$Е$15). Примечание: Обязательно в этот интервал должны быть включены названия факторов в виде одного столбца слева и одной строки сверху;

- число строк для выборки – 3;

- метки (входной диапазон не содержит метки);

- альфа (уровень значимости =0,05).

5. Для параметров вывода установите переключатель в положение Новый рабочий лист. Выходной интервал можно задать в виде одной координаты $F$1, .

Заполненные исходные параметры в диалоговом окне должны выглядеть следующим образом (Рисунок 111).

Рисунок 111. Окно исходных параметров двухфакторного дисперсионного анализа с повторениями.

6. После завершения настройки параметров нажмите кнопку [ОК].

Результаты дисперсионного анализа будут состоять из нескольких частей. В первых частях для каждой строки и каждого столбца исходной таблицы приведены числовые параметры: количество чисел, сумма, среднее и дисперсия по второму фактору (в этом примере - по № завода) и итогам. Вторая часть результатов представлена на рисунке.

Дисперсионный анализ
Источник вариации	SS	df	MS	F	Р-Значение	F критическое
Выборка	303,76528	3	101,25509	7,010642	0,00150731	3,008786109
Столбцы	1808,655	2	904,3275	62,61331	2,9949Е-10	3,402831794
Взаимодействие	1789,4339	6	298,23898	20,6493	2,194Е-08	2,508187436
Внутри	346,63333	24	14,443056

Рисунок 112. Результаты двухфакторного дисперсионного анализа с повторениями

Основной вывод из полученных результатов заключается в следующем:

Конкурирующая гипотеза может быть принята для фактора 1 и для фактора 2, а так же их взаимного влияния, т.к. во всех случаях выполняется неравенство F>F_кр. Принятие конкурирующей гипотезы подтверждается и величинами эначимостей, удовлетворяющими условию Р<0,05.

Примечание. Уровни значимости Р в строках итоговой таблицы «Столбцы» и «Взаимодействие» приведены в компактной, экспоненциальной форме. Например: число 2.194Е-08 выглядит в обычной записи как 0,00000002194. Е-08 обозначает, что первая значащая цифра стоит на восьмом месте после запятой.

Таким образом, можно считать доказанным с высокой степенью статистической достоверности влияние условий и характера труда на показатели заболеваемости хроническим гастритом.

7.8 Сценка различий коэффициентов корреляции

Различия коэффициентов корреляции определяются исходя из тех же принципов, что и различия средних. В качестве нулевой гипотезы рассматривается утверждение о том, что статистически значимых различий между коэффициентами корреляции нет (Н₀: r₁ =r₂ ). Если исходные выборки, которые использовались для вычислений этих коэффициентов, состоят из однородных величин, то в случае принятия нулевой гипотезы, можно предполагать что обе выборки принадлежали к одной генеральной совокупности. Например: требуется оценить статистическую достоверность различий следующих коэффициентов r₁=0,45 и r₂=0,58. Числа наблюдений в первой и второй группах состави­ли, соответственно, N₁=74 и N₂=50.

Для ответа на этот вопрос требуется выполнить следующие операции:

1. По таблице значений 2. (см. Приложение) значения коэффициентов корреляции переводятся в соответствующие им величины Z₁=0,48 и Z₂=0,66. (Методика перевода на стр.??).

2. Вычисляется критерий Стьюдента по формуле

3. Число степеней свободы =N₁ + N₂-4=74+50-4=120 4.При уровне значимости Р=0,05 критическая величина крите­рия Стьюдента составляет 1,98 (См. приложение), что намного больше вычисленного. Таким образом, оснований для того, что бы отвергнуть нулевую гипотезу нет. Различия коэффициентов корреляции следует признать статистически не достоверными.

7.9 Оценка достоверности различий коэффициентов вариации.

Необходимость оценки достоверности различий коэффициентов вариации чаще всего возникает в двух случаях:

1. При сравнительной оценке изменений произошедших в ряду разнородных показателей под воздействием какого-либо фактора или до наступления какого либо события и после наступления этого события (до опыта и после, в разные временные промежутки и т.п.). Например: необходимо получить ответ, какие показатели развития ребенка больше всего изменяются под воздействием неблагоприятных факторов городской среды?

2. При сравнительной оценке разнородных показателей (учетных признаков) одной и той же совокупности, одного и того же явления, в одно и тоже время. Например: сравнительная оценка однородности коллектива по стажу работы, уровню образования, и т.п.

В первом случае оценка различий коэффициентов вариации часто заменяется оценкой различий средних или тенденций распределения в рядах однородных величин. В принципе, это может приводить к потере достаточно ценной информации о сравнительной вариабельности разнородных показателей под воздействием какого-либо фактора, т.е. косвенной характеристике чувствительности тех или иных показателей.

Определение статистической достоверности различий производится на основании следующего алгебраического выражения неравенства

, где - абсолютное значение разности коэффициентов вариации (т.е. без знака + или-);

N - число наблюдений в меньшей из сравниваемых выборок;

m_C1 m_C2 - ошибки коэффициентов вариации.

Если неравенство выполняется, т.е. левая часть больше правой, то различия считаются статистически достоверными.

Ошибки коэффициентов вариации вычисляются по формуле:

Пример: при изучении влияния повышенной запыленности воздуха рабочей зоны на органы дыхания работников одного из предприятий установлено, что изменение показателей частоты заболеваний органов дыхания рабочих (112 человек) в зависимости от стажа работы оценивались коэффициентом вариации С₁=24%, а изменение показателей функции внешнего дыхания (у 77 обследованных рабочих) С₂=31%.

Поскольку это неравенство не выполняется, можно считать различия разброса показателей заболеваемости органов дыхания и функции внешнего дыхания не существенными.