7.1.1 Определение «выскакивающей» варианты с помощью м5 Ехсеl

В М5 Ехсel имеется функция «ZТЕСТ», с помощью которой можно определить принадлежность варианты к совокупности.

Рассмотрим пример. Имеется некая статистическая совокупность, образованная следующим рядом числовых значений: 14, 15,17,18, 22, 24, 19. Необходимо определить, соответствует ли варианта 24 этому ряду?

Порядок решения задачи в М5 Ехсеl:

1 .Введите в ячейки А1 :А7 исходный ряд чисел.

2. Установите курсор на ячейку (А9)

3.Выполните команду Функции из меню Вставка или выберите на панели инструментов пиктограмму f_x .

4.Выберите в появившемся диалоговом окне «Мастер функций» категорию «Статистические», а затем функцию «СТАНДОТ-КЛОНП» и нажмите кнопку [ОК].

6.Введите в окошко «Число» координаты числового ряда А1:А7 и нажмите кнопку [ОК].

Таким образом, в клетке А9 получено значение среднеквадратического отклонения (сигма).

7.Установите курсор в позицию А10.

8.Выберите в диалоговом окне «Мастер функций» категорию «Статистические», а затем функцию «ZТЕСТ» и нажмите кнопку [ОК].

9.В открывшемся окне установите следующие параметры: Массив-(А1:А7),

Х-число, сомнительную принадлежность которого к совокупности вы желаете оценить. В данном случае 24 или координаты клетки, в которой это число расположено (А6).

Сигма - значение стандартного (среднеквадратического отклонения), вычисленного вами ранее (А9).

10.После ввода исходных данных нажмите кнопку [ОК].

В результате, в клетке А10 будет получена вероятность того, что сомнительное число принадлежит к данному ряду чисел (0,9999).

Если числовое значение полученной вероятности будет ≤ 0,05, то рекомендуется провести повторный анализ ситуации, исключив предварительно сомнительное число из числового ряда. Если полученные после повторного анализа результаты будут всё равно оставаться на уровне границ критических значений, то выбор решения о включении сомнительного числа или его исключении из совокупности остается за исследователем.

С помощью встроенной функции МS Ехсеl УРЕЗСРЕДНЕЕ можно исключать из анализируемого ряда «выскакивающие варианты». При вычислении этой функции необходимо указать:

• анализируемый числовой ряд: «МАССИВ»

• долю вариант исключаемых из выборки: «ДОЛЯ». Эта доля указывается в относительных единицах. Например: если нужно отбросить 10% вариант, то указывают 0,1; если 20%-указывают 0,2.

Результатом вычислений является урезанное среднее арифметическое, т.е. среднее, вычисленное из урезанного, цензурированного числового ряда. Если после указанной операции урезанное среднее и исходное среднее не отличаются друг от друга или отличаются не существенно, то варианту (группу вариант) можно оставить в составе анализируемого ряда.

7.2 Критерии различий эмпирических распределений.

В ряде случаев нет необходимости сравнивать полученные распределения с теоретическими, поскольку достаточно ответить на вопрос о различиях двух или нескольких распределений полученных в опыте (эмпирических распределений). Для этих цепей используются методические подходы во многом аналогичные тем, которые применяются в случае оценок различий эмпирических и теоретических распределений. В таком случае вместо теоретического распределения берется второе эмпирическое. Например: критерий Колмогорова-Смирнова. Однако, наиболее часто в этой ситуации используется критерий χ² (хи-квадрат), Его использование удобно, во-первых, потому, что не требует громоздких вычислений. Во-вторых, не требует никаких параметрических характеристик (средних, дисперсии и т.п.). Ограничения, существующие при использовании этого критерия, описаны в разделе «Критерий согласия Пирсона χ²».

Таблица 70

Распределение рабочих по кратности заболеваний (фактические данные)

Пол	Кратность заболеваний			Итого
	Не болели	1 -2 раза	3 раза и более
Мужчины	29	36	15	80
Женщины	14	24	12	50
Оба пола	43	60	27	130

Необходимо определить, зависит ли заболеваемость обследованных рабочих от пола? Или, зависит пи распределение показателей заболеваемости (распределение по кратности заболеваний) от пола?

Порядок решения поставленной задачи может быть следующим:

1) Выдвигается нулевая гипотеза Н₀ - влияния пола на кратность заболеваний рабочих нет.

Таблица 71

Распределение рабочих по кратности заболеваний (ожидаемые числа)

Пол	Кратность заболеваний
	Не болели	1-2 раза	3 раза и более
Мужчины	26,5	36,9	16,6
Женщины	16,5	23,1	10,4
Оба пола	43,0	60,0	27,0

2. На основании фактических данных (Таблица 70) вычисляются ожидаемые численности наблюдений для каждой клетки Таблицы 71 по следующему отношению (сумма по строке )*(общий итог)/(сумма в столбце). Ожидаемые числа показывают, какое было бы распределение болевших и не болевших, если бы нулевая гипотеза была бы верна. Для "не болевших мужчин (80*43)7130=26,5. Для не болевших женщин (50*43)7130=16,5. Аналогично получают числа для мужчин и женщин, болевших 1-2 раза, 3 раза и более.

3. Вычисляются отклонения каждой фактической величины от ожидаемой. 29-26,5=2,5; 36-36,9=-0,9 и т.д.

Таблица 72

Распределение рабочих по кратности заболеваний (величина отклонения фактических от ожидаемых чисел)

Пол	Кратность заболеваний
	Не болела	1 -2 раза	3 раза и более
Мужчины	2,5	-0,9	-1,6
Женщины	-2,5	+0,9	1,6

4) Вычисляем значение χ², подставляя полученные значения:

5) Число степеней свободы = (а-1 )*(в-1)=(3-1)*(2-1)=2 , где а число столбцов (без итогов), в- число строк (без итогов).

6) При уровне значимости 0,05 и числе степеней свободы равном 2, критическое значение χ² =5,99. (См. Приложение). Поскольку вычисленное значение % =1,1<5.99, нулевая тип гипотеза не отвергается. Различия в распределении рабочих по группам заболеваний не подтверждены.

Упростить вычисления можно применяя формулу:

Где:

f_ij - число наблюдения в у клетке,

f_j -число наблюдений в/столбце,

f_i - число наблюдений вг строке таблицы,

n- общее число наблюдений в таблице.

Несмотря на кажущуюся сложность формулы, вычисления достаточно просты. Например: по данным таблицы 70 имеем:

В тех случаях, когда данные представлены в виде четырехпольной таблицы, целесообразно использовать упрощенный метод вычисления критерия X², используя формулу

, где a,b,c,d, - условные обозначения клеток таблицы. Например:

Таблица 73

Результаты проведения профилактической вакцинации

Отношение к вакцинации	Число обследованных
	Заболели	Не заболели	Итого
Вакцинированы	а 20	b 140	а+b 160
Не вакцинированы	с 48	d 120	с+d 168
Всего	а+с 68	b+d 260	а+b+с+d 328

Подставив данные (Таблица 73), получим:

Поскольку число степеней свободы в случае четырехпольной таблицы всегда равно 1, критические значения χ² при уровне значимости Р=0,05 всегда-3,84 и при Р=0,01 - 6,63. Поскольку вычисленное значение χ²=12,8»6.63, нулевая гипотеза отвергается. Различия в распределении по частоте заболеваний в группах привитых и не привитых статистически подтверждены.

7.2.1 Оценка различии эмпирических распределений с помощью Ехсеl

В MS Ехсеl имеется функция ХИ2ТЕСТ, с помощью которой можно оценить различия эмпирических распределений. Его использование уже рассматривалось выше при решении близкой по смыслу задачи.(См. раздел 5.2.3)

Рассмотрим приводившийся выше пример (Таблица 70). Необходимо определить, зависит ли заболеваемость от пола рабочих?

Порядок решения задачи в МS Ехсеl:

1. Введите в ячейки А1:Е5 исходный ряд чисел.

Рисунок 97

2. Для получения «ожидаемых» распределений наберите в ячейке В9 команду =В$5*$ЕЗ/$Е$5

3. Скопируйте это выражение в ячейки В10, С9, С10, D9 и D10. Для того, что бы провести копирование: сделайте активной клетку В9 (установите на него курсор), а затем подведите к правому нижнему углу выделенной клетки указатель мыши, и нажав на правую клавишу, перетащите содержимое этой клетки в нужное вам место.

Рисунок 98

4.Установите курсор на свободное место таблицы. Выполните команду Функции из меню Вставка или выберите на панели инструментов пиктограмму f_х. Выберите в появившемся диалоговом окне «Мастер функций» категорию «Статистические», а затем функцию «ХИ2ТЕСТ», заполните интервалы клеток с данными и нажмите кнопку [ОК].

Рисунок 99

В результате будет получена значимость нулевой гипотезы, т.е. что различий в распределении нет (0,576...).

7.3 Критерии различия между двумя долями, интенсивными величинами и средними арифметическими

Проблема оценки различий между такими параметрами выборки, как средние величины или доли (%), является одной из самых важных в статистике медико-биологических исследований. Мно­гие исследования, в большей части совершенно не обоснованно, заканчиваются ответом именно на этот вопрос. Например: при оценке токсичности какого либо вещества обычно берутся две группы лабораторных животных. Подбираются животные одинакового возраста, пола, одинакового содержания и т.п. Т.е. делается все, что бы эти группы животных представляли собой единую, как можно более однородную статистическую совокупность. Разница заключается только в том, что одна из групп животных (опытная) подвергается воздействию токсического вещества, другая (контрольная) - нет. В любом случае, произошли ли после воздействия токсического вещества изменения в опытной группе или нет, различия средних показателей в обоих группах обязательно будут. Вопрос состоит в том, являются ли эти различия только следствием различий обычно существующих в любых группах, или разница возникла из-за того, что произошли существенные сдвиги физиологических функций животных опытной группы. Иначе, принадлежат ли животные опытной и контрольной групп к той же самой генеральной совокупности или опытная группа принадлежит к другой генеральной совокупности (совокупности с измененными физиологическими параметрами)?

Для сравнения долей в случае, когда выборки, из которых эти доли вычислены, достаточно велики, используется формула:

, где Р₁ и Р₁, сравниваемые доли (%).Ошибки долей m могут быть вычислены по формуле , где Р показатель в %, а q=100-Р.

Одной из весьма распространенных ошибок является использование для определение различий интенсивных показателей этой формулы, предназначенной только для альтернативного варьирования, т.е. для случаев, когда возможен один вариант: «болел» или «не болел». Однако для оценки показателей общей заболеваемости (по обращаемости), заболеваемости с временной утратой трудоспособности, а также заболеваемости теми болезнями, которые могут встречаться по несколько раз в исследуемый период {год, квартал и т.п.) эта формула не пригодна. В. А. Мозглякова (1971) предложила использовать в этих случаях формулу , где М – среднее число заболеваний, n – число наблюдений. Эта формула обычно используется при распределений Пуассона или асимметричном биноминальном распределении, которому подчиняются, как правило, распределения случаев заболеваний при относительно не высоких показателях и небольшом числе наблюдений (=100). При больших числах наблюдений или высоких показателях заболеваемости (>150 сл. на 100 рабочих и т.п.) определять статистические ошибки следует только через построение вариационных рядов распределения. Например:

Кратность заболеваний в году V	Число рабочих Р
0	40
1	55
2	15
И т.д.

Далее см. в разделах Ряды распределений и Вариационные ряды.

При статистической оценке различий выборочных средних могут рассматриваться следующие варианты, накладывающие отпечаток на способ вычисления (t) критерия: малые выборки (п<30) или большие выборки (п>30);

Кроме того, выбор конкретной методики оценки различий требует также и учета следующих аспектов:

• различия определятся для средних арифметических в независимых (несвязанных) выборках, их состав не зависит друг от друга, формируется случайным отбором;

• различия вычисляются для средних в парных, связанных выборках; их состав тесно связан или тот же самый {до опыта и после).

• различия находятся между выборочными и генеральными средними (теоретическими стандартами).

Наиболее широко для решения этих задач в практике медико-биологических исследований используется параметрический критерий Стьюдента (t). Применение этого критерия недопустимо в следующих случаях:

• не соответствие распределения вариант в сравниваемых группах закону нормального распределения;

• не подтвержденное равенство несмещенных дисперсий (разброса вариант в выборке) сравниваемых групп;

• дискретный (балльный) характер сравниваемых числовых признаков.

Рассмотрим несколько примеров, в которых распределение исходных данных будем считать соответствующим нормальному распределению.

Пример 1: статистическая проверка гипотезы разности двух средних. Независимые выборки, небольшой объем выборки, число наблюдений одинаково.

Таблица 74

Длительность пребывания в стационарах больных астматическим бронхитом

Номер больного j	Число дней госпитализации V
	Первая больница		Вторая больница
	V1	V12	V2	V22
1	14	196	15	225
2	16	256	17	289
3	15	225	16	256
4	17	289	17	289
5	18	324	19	361
6	15	225	19	361
7	14	196	16	256
8	15	225	16	256
Итого	124	1936	135	2293

Принимаем нулевую гипотезу - различий между средними нет H₀:М₁=М₂ (различия случайны, различия не существенны), при уровне значимости нулевой гипотезы Р=0,05.

Среднее первой выборки М₁=124/8=15,5 дня. Второй выборки М₂=135/8=16,9 дней.

Находим несмещенные дисперсии по формуле:

день² день².

С помощью критерия Фмишера проверяем равенство дисперсий для уровня значимости Р=0,05 и для степеней свободы соответственно равным для первого числового ряда k₁=8-1=7 и второго ряда k₂=8-1=7. Наблюдаемое значение критерия Фишера F=2,1/2,0=1,05. Критическое значение (определяется либо по специальной таблице, либо с помощью Ехсеl) Fкр=3,78. Поскольку фактическое значение критерия (1,1) не превышает его критического значения (3,78), нулевая гипотеза, говорящая о равенстве дисперсий, не отвергается.

Вычисляем ошибки средних по формуле: и дня.

Вычисляем критерий Стьюдента

Примечание: строго говоря, значение критерия Стьюдента в приведенном примере равно -1,79. Однако при вычислении этого критерия принимается только его абсолютное значение.

7. Находим число степеней свободы по формуле k=(n₁-1)+ (п₂- 1)=п₁+п₂-2, где п₁ численность первой выборки п₂ второй выборки. k=8+8- 2=14.

8. Критическое значение t=2,75, при уровне значимости Р=0,05 и числе степеней свободы=14 (См. Приложение). Таким образом, фактическое, вычисленное значение критерия Стьюдента (1,79) меньше критического (2,15), т.е. находится в области принятия нулевой гипотезы. Различия длительности стационарного лечения в первой и второй больницах можно считать статистически не существенными.

Пример 2: статистическая проверка гипотезы разности двух средних. Зависимые выборки (результаты анализов одним и тем же способом одних и тех же проб, до опыта и после опыта). Дисперсии в этом случае могут быть не известны. Для удобства возьмем те же числовые последовательности, что и в предыдущем примере (Таблица 74).

Таблица 75

Сравнение результатов анализов двух лабораторий

Номер пробы	Результаты анализов		Разность d	Квадрат Разности d2
	До опыта	После опыта
1	14	15	-1	1
2	16	17	-1	1
, 3	15	16	-1	1
4	17	17	0	0
5	18	19	-1	1
6	15	19	-4	16
7	14	16	-2	4
В	15	16	-1	1
Итого			-11	25

1. Принимаем нулевую гипотезу - средняя разность не существенна Н₀ :d_cp =0 и рассчитываем фактическое.

2. Число степеней свободы k=n-1=8-1=7 дает возможность найти при доверительной вероятности 0,05 критическое значение t=2,4. Поскольку фактическое значение критерия Стьюдента превосходит критическое (См. Приложения), нулевая гипотеза отвергается. Т.о. различия лабораторных анализов следует признать статистически значимыми.

Из результатов примеров 1 и 2 видно, что использование вместо одного, другого, метода определения достоверности различий может кардинально менять результаты

Иногда выборочное значение среднего нужно сравнить с генеральным средним или с каким-нибудь теоретическим стандартом.

Пример 3: При определении рН раствора в 8 пробах были получены следующие результаты: 6,9; 7,7; 7,3 ;7,1; 7,3 ;7,2 ;7,6; 6,9. Можно ли считать с доверительной вероятностью 0,01 реакцию раствора щелочной, если М=7,25±0,1, а стандартное Мс=7,0. В этом случае вычисления проводятся по формуле:

При числе степеней свободы k=n-1 =6-1=5 и уровне значимости Р=0,05 теоретическое значение t=3,5. Поскольку фактическое значение критерия Стьюдента (2,41) меньше критического (2,57), статистическую значимость щелочной реакции раствора можно считать сомнительной. Однако, в данном примере можно определять односторонне различие показателей, поскольку здесь интересует только наличие существенных различий от значений рH в сторону меньшую 7,0. Критическое значение одностороннего критерия t=2,07 (при Р=0,1). Фактическое значение t в этой ситуации превышает критическое. Таким образом, различия можно считать статистически подтвержденными.

Если сравниваемые средние получены при большом объеме наблюдений и при соблюдении нормального распределения, то определение достоверности различий средних можно произвести упрощенным способом:

Если левая часть неравенства будет больше 9, то различия средних арифметических можно считать статистически достоверными. Если меньше, - то различия статистически не достоверны.

7.4 Использование МS Ехсеl при статистической проверке различий средних

В МS Ехсеl имеются статистические функции, предназначенные для решения задач статистической проверки различий средних.

Функция ФТЕСТ представляет одностороннюю вероятность того, что дисперсии числового массива 1 и массива 2 различаются несущественно. Окно функции имеет поля ввода исходной информации Массив1 и Массив2. В эти окна могут водятся числовые последовательности или ссылки на ячейки, содержащие числа. Например:

Рисунок 100. Пример заполнения окон массивов функции ФТЕСТ

Ответ: односторонняя вероятность сходства =0,91747, т.е. нулевая гипотеза (Н₀) об отсутствии различий дисперсий указанных числовых рядов не отвергается.(Р>0,05). Таким образом, имеющиеся различия можно признать не существенными.

Функция ТТЕСТ представляет результаты (t) теста в виде односторонней или двухсторонней вероятности того, что средние арифметические числового массива 1 и массива 2 различаются несущественно. Окно функции имеет поля ввода исходной информации Массив1 и Массив2. В эти окна могут вводиться числовые последовательности или ссылки на ячейки, содержащие числа. Например:

Рисунок 101. Пример заполнения окон функции ТТЕСТ

В окно Хвосты вводится цифра 1 или 2, в зависимости оттого, какую вероятность нужно получить: двухстороннюю (2) или одностороннюю (1).

В окне Тип указывается тип исполняемого теста (1 -парный, 2-двухвыборочный с одинаковыми дисперсиями, 3-двухвыборочный с неравными дисперсиями).

При анализе данных, указанных для примера {Рисунок 100) получается ответ: односторонняя вероятность сходства средних парной выборки Р=0,073, Таким образом нулевая гипотеза Но не отвергается, поскольку Р>0,05. Таким образом, имеющиеся различия можно признать не существенными.

Более глубокий статистический анализ позволяет проводить пакет анализа. Здесь предусмотрены три метода статистического анализа различий с помощью t критерия: парный двухвыборочный тест, двухвыборочный тест с одинаковыми и разными дисперсиями.

Окно парного двух выборочного теста содержит следующие поля ввода исходной информации (Рисунок 101):

1 .В разделе Входные данные, в окнах Интервал переменной 1 и 2 указываются числовые ряды или адреса клеток, где расположены исходные числовые данные. В окне Гипотетическая разность указывается (необязательно) ожидаемая разность среднего. Если предполагается отсутствие различий, то здесь указывается 0. Метки - показывают наличие в числовых рядах текстовых заголовков, которые нужно исключить из математической обработки. Параметр Альфа задает точность статистического анализа.

2. В разделе Параметры вывода указывается место вывода информации:

Выходной интервал - место вывода информации на том же листе Ехсеl, Причем для вывода информации достаточно указать только первую клетку, относительно которой будет располагаться вся выводимая информация. Окна Новый рабочий лист и Новая рабочая книга указывают, соответственно, что вывод будет осуществлен на новый лист или в новую книгу (новый файл) Ехсеl.

Рисунок 102. Окно ввода данных для двухвыборочного теста для средних

Результаты анализа двух числовых рядов (см. Рисунок 103): представлены следующими характеристиками:

Рисунок 103. Результаты анализа различий с помощью парного двухвыборочного t критерия.

Среднее - средние арифметические обоих рядов распределений признаков;

Дисперсия - дисперсии двух выборок;

Наблюдения -числа наблюдений в выборках;

Корреляция Пирсона - коэффициент корреляции Пирсона, с помощью которого оценивается направление (прямая или обратная) и плотность связи двух анализируемых признаков (от О до 0,3 слабая; от 0,3 до 0,7 средняя, более 0,7 - сильная). Эта характеристика необходима для доказательства правомерности оценки различий методом, предназначенным для несвязанных выборок. Если будет установлена сильная связь анализируемых выборок, то полученные с помощью этого метода результаты будут представляться весьма сомнительными.

Df- число степеней свободы.

Далее выводятся фактические и критические значения критерия Стьюдента, а также вычисленные с помощью этих характеристик статистические значимости (Р) различий выборок. Поскольку значимыми считаются различия при Р<0,05., в данном примере различия можно признать статистически не подтвержденными.

Аналогично осуществляется ввод и вывод информации при анализе существенности различий с помощью других методов исчисления t критерия, имеющихся в пакете анализа Ехсе1.

7.5 Критерии различия между двумя средними тенденциями

Нередко в медико-биологических исследованиях применение критерия Стьюдента ограничено из-за требований, обусловленных параметрическим характером этого критерия. Непараметрические критерии не имеют таких ограничений. Из большого числа таких критериев, в частности при проверке средних тенденций, можно использовать отличающиеся простотой определения критерий знаков и критерий U Вилкоксона.