4.6 Вычисление показателей описательной статистики ms Excel

В МS Ехсеl имеется надстройка (опция) «Пакет анализа», которая позволяет оперативно получить значения показателей описательной статистики. При этом вычисляются следующие статистические показатели: среднее арифметическое, ошибка среднего, медиана, мода, стандартное отклонение (среднеквадратическое отклонение), дисперсия, эксцесс, асимметрия, интервал, минимум, максимум, сумма, счет (размер выборки) и уровень надежности.

Рассмотрим пример. В цехе синтеза аммиака производились замеры концентрации аммиака в воздухе рабочей зоны. Получен ряд значений (в мг/мЗ): 12, 16, 15, 14, 10, 20, 16, 14, 18, 14, 15, 13, 17 15 и 14. Необходимо определить параметры описательной статистики для этого ряда.

Порядок решения задачи в МS Ехсеl:

1. Введите в ячейки А1:А15 исходные данные;

2. Выполните команду Анализ данных из меню Сервис;

Примечание: Если данная команда отсутствует, то необходимо помощью команды Надстройки из меню Сервис открыть окно диалога Надстройки и в нем установить флажок для компоненты Пакет анализа. После нажатия кнопки [ОК] меню Сервис будет дополнено командой Анализ данных. Если появится сообщение, что выбранная надстройка не может быть найдена, то необходимо выполнить более полную инсталляцию пакета программ МS Ехсеl на вашем компьютере;

3. Выберите в появившемся диалоговом окне метод «Описательная статистика» и нажмите кнопку [ОК];

4. В окне «Описательная статистика» установите следующие параметры:

• Входной диапазон {$А$1 :$А$15);

• Группирование (по столбцам);

• Метки (входной диапазон не содержит метки, те. Названий строк и столбцов);

• Альфа (уровень значимости =0,05);

• Выходной диапазон. Для выходного диапазона выберите ссылку на ячейку С1, расположенную в левом верхнем углу выходного диапазона. Полные размеры выходной области будут определены автоматически;

• Итоговая статистика. Установите флажок, чтобы в выходном диапазоне получить следующие характеристики: среднее (арифметическое), стандартную ошибку среднего, медиану, моду, стандартное отклонение, дисперсию выборки, эксцесс, асимметричность, амплитуду (интервал), минимум, максимум, сумму вариант и размер выборки (счет);

• Уровень надежности. Установите флажок, чтобы в выходную таблицу включить строку для уровня надежности. Уровень надежности - это половина доверительного интервала для генерального среднего арифметического

5. После завершения настройки параметров нажмите кнопку [ОК].

Результаты анализа принимают вид (Рисунок70):

Рисунок 70. Результаты вычисления показателей описательной статистики.

Из полученных данных следует, что с вероятностью 0,95 среднее арифметическое для генеральной совокупности находится в интервале 14.867±1,338. Амплитуда (интервал) разброса значений равна 10.

5 Теоретические распределения

Как уже говорилось ранее, различные методы описательной статистики позволяют представить в обобщенном виде свойства статистической совокупности. Важнейшее звено статистического анализа - аналитическое описание кривой конкретного распределения в виде закона распределения. Теоретическим называют распределение, которое выбирается как образец (стандарт) для описания закона фактического распределения.

К задачам, решаемым на основе описания этой кривой, следует в первую очередь отнести:

• обоснование выбора конкретных методов статистического анализа генеральной и выборочной совокупности;

• изучение причин, обуславливающих тот или иной закон распределения эмпирических данных (данных полученных опытным путем). Вскрытие на этой основе естественных причинно-следственных отношений и взаимосвязей различных явлений;

• построение статистических моделей, научное прогнозирование событий и процессов;

В практике медико-биологических исследований встречаются как дискретные (прерывные), так и непрерывные распределения.

Наиболее распространенные среди дискретных распределений -биномиальное и пуассоновское распределения. Среди непрерывных - нормальное и связанные с ним распределения Стьюдента, хи-квадрат и F- распределение Фишера, которые особенно широко используются при построении доверительных интервалов и статистической проверке гипотез.

Биноминальное распределение (распределение Бернулли) - возникает, когда оценивается, сколько раз происходит некоторое событие, в серии определенного числа независимых, выполняемых в одинаковых условиях наблюдений. При этом распределении разброс вариант (в простейшем случае есть событие или нет события) является следствием влияния ряда независимых и случайно сочетающихся факторов. Например: для контроля качества партии фармакологического препарата требуется подсчитать число изделий (упаковок), не соответствующих требованиям. Все причины, влияющие на качество препарата, принимаются одинаково вероятными и независящими друг от друга. Сплошная проверка качества в этой ситуации не возможна, поскольку изделие, прошедшее испытание, не подлежит дальнейшему использованию. Поэтому для контроля из партии наудачу выбирают определенное количество образцов изделий (n).Эти образцы всестороннее проверяют и регистрируют число бракованных изделий (X). Теоретически число бракованных изделий может быть любым, от 0 до п, но вероятности этих чисел различны. В основе принятия решения лежит сравнение распределения результатов контроля, т.е. данных, полученных опытным путем, и теоретического распределения, при котором гарантируется необходимое качество всей партии - достаточно низкая вероятность брака Р(Х=k), где k- число возможных событий (в примере одно событие- изделие с браком, второе - изделие без брака).

Распределение Пуассона - проявляется в ситуациях, когда в течение определенного отрезка времени или на определенном пространстве происходит случайное число каких либо событий (число радиоактивных распадов, выпадение частиц аэрозоля, случаи заболеваний и т.п.). Основное отличие этого закона распределения - резко выраженная асимметрия. Если обозначить вероятность одного события через р, то вероятность другого события q будет равна (1-р). Распределение этих событий будет тем асимметричней, тем больше различаются р и q. В крайнем случае, когда р очень мало, а q соответственно, близко к 1, получается крайне асимметричное распределение- распределение Пуассона. Особенностью этого распределения является то, что дисперсия и среднее арифметическое при таком распределении равны между собой (D=М). Это избавляет от необходимости вычислять дисперсию, что очень удобно при определении ошибки репрезентативности (статистической достоверности) выборочных исследований, когда вычисление дисперсии крайне затруднено или вообще невозможно. Необходимо только соблюдать главное условие распределения Пуассона - независимость событий. При оценке заболеваемости, например, такая методика используется только в случае, если заболевания не связаны или весьма слабо связаны между собой причинно-следственными отношениями. Кроме того, равенство дисперсий и среднего в распределении Пуассона позволяет проводить ориентировочную оценку эмпирических (опытных) распределений. Например: если в ходе статистической обработки дискретных рядов, получены среднее и дисперсия, которые равны между собой, то распределение можно считать подчиняющимся закону Пуассона.

Распределение Пуассона и биноминальное распределение связаны между собой и с некоторыми другими типами распределений. Среди них наиболее существенным представляется схожесть с нормальным распределением.

5.1 Нормальное распределение

Нормальное распределение (распределение Гаусса)-относится к числу законов распределения, используемых для приближенного описания явлений, которые носят вероятностный, случайный характер. В связи с тем, что предмет подавляющего большинства медико-биологических исследований -явления вероятностного характера, нормальное распределение в таких исследованиях встречается весьма часто. Особенностью этого распределения является и то, что многие другие формы распределения в предельных случаях (при предельно большом числе наблюдений) подчиняются гауссову закону. Исторически, приоритет в открытии этого одного из основополагающих законов математической статистики принадлежит Де Муавру (1733), но обычно его связывают с именем Гаусса, исследовавшего его в начале 19 века.

Например: возьмем некоторое биноминальное распределение с параметром К=11. Затем удвоим этот параметр (К=22), При этом уменьшим вдвое ширину каждого интервала (разряда), что бы второе распределение имело бы ту же ширину, что и первое. Кроме того, если уменьшить и каждую частоту интервала вдвое, то оба распределения будут иметь одинаковый объем. После этих операций над вторым распределением (сужение каждого разряда и уменьшение вдвое каждой частоты), оба распределения будут лишь несколько различаться своей формой.

Рисунок 71. Трансформация различных вариантов распределений

Если продолжить эту процедуру, беря все большие значения К(К=33), то в пределе К=∞ верхние стороны столбиков сольются в гладкую кривую.

Эту кривую называют «кривая нормального распределения непрерывной величины». Как и всякую кривую, кривую распределения можно описать некоторой функцией у = f (х). Эта функция указывает, чему равна ордината у, соответствующая заданному значению абсциссы х. Выражение f(х). называется плотностью функции распределения (плотностью вероятностей, плотностью распределения вероятностей). Плотность распределения характеризует площадь, которая ограничивается отрезком кривой распределения в интервале разряда. Полная площадь, ограниченная кривой распределения принимается равной 1.

Такое распределение называется нормальным или гауссовым (распределением Гаусса). Следовательно, оно покоится на тех же предпосылках, что и биноминальное, т.е. на гипотезе о малых независимых, случайно сочетающихся факторах. Условие К=∞ означает, что число этих факторов неограниченно велико. Однако, если какой-либо фактор играет преобладающую роль, то распределение не будет подчиняться гауссову закону. Таким образом, нормальное распределение не следует считать универсальным.

Уравнение гауссовой кривой имеет вид: , где N – число наблюдений, М- среднее значение, е- основание натуральных логарифмов (е=2,718…), σ- среднеквадратическое отклонение.

Диаграмма нормального распределения симметрична относительно точки М, т.е. положительные и отрицательные отклонения равной величины от центра распределения (среднего арифметического) встречаются одинаково часто. При этом в точке М функция достигает своего максимума. Совокупность нормальных распределений представляет собой двухпараметрическое семейство. Параметр M - характеризует положение диаграммы функции на числовой оси (параметр положения). Параметр σ- характеризует степень сжатия или растяжения (плотности) диаграммы. Чем больше σ, тем «шире» кривая, а ее максимальная высота ниже. Кривая как бы «расплывается» в стороны. При малых σ- кривая, наоборот, «стягивается» к середине. При этом подразумевается, что совокупности имеют одинаковый объем.

Рисунок 72. Различные варианты нормального распределения

На представленных рисунках заштрихованная площадь отражает часть вариант, отклоняющихся от среднего значения не более чем на σ, т.е. от -σ до +σ. В этой области при нормальном распределении всегда оказывается 68,3% всех вариант. Таким образом, 68,3% всех вариант отклоняются от среднего значения не более чем на величину а. В пределах от -2σ до +2σ лежат 95,5% всех вариант. В пределах -Зσ до +3σ - 99,7% и т.д. Эта закономерность трактуется, как правило трех сигм.

Параметры М и σ являются параметрами, описывающими различные модификации нормального распределения. Те статистические критерии, которые используют эти параметры, принято называть параметрическими критериями.