5.3.2 Критерий согласия Колмогорова к()

Не сложен для практического применения и критерий Колмогорова, обозначаемый, , где N - число наблюдений в статистическом ряду, Dтах - максимальная разница в накопленных эмпирических и теоретических частостях. Ограничением при его применении является возможность сравнивать с его помощью лишь взвешенные ряды. Число наблюдений при этом должно быть достаточно большим (N50). Не рекомендуется так же объединять варианты в крупные группы. Сама анализируемая совокупность должна представлять непрерывный ряд распределения. Результат вычисления оценивается весьма просто, в зависимости от доверительного уровня Р. Нулевая гипотеза отвергается если K()>1,36 (при Р=0,95) или , если K()>1,63 (при Р=0,98),или если K()>1,95 (при Р=0,999). Нередко название критерия включает и фамилию А.Н.Смирнова (Критерий Колмогорова-Смирнова), который обосновал применение этого критерия для оценки различий" распределения эмпирических рядов, т.е. двух рядов данных полученных в результате опыта (Например: «опыт» и «контроль»).

В отличие от критерия Пирсона ², критерий K() не требует расчета степеней свободы и не требует проводить объединения малых групп. Кроме того, помимо оценки значимости расхождений, критерий Колмогорова позволяет установить и величину расхождений, выявить диапазон (градацию) признака, которая играет наиболее существенную роль в расхождении распределений.

Таблица 54

Пример вычисления критерия Колмогорова K()

Частоты		Накопленные частоты		Накопленные частости		D
Эмпири ческие	Теорети ческие	Эмпири ческие n	Теорети ческие n	Эмпири Ческие n	Теорети ческие n'
1	2	3	4	5	6	7
1	3,41	1	3,41	0,003	0,010	-0,007
42	21,63	43	25,04	0,131	0,076	0,055
65	68,42	108	93,46	0.329	0,285	0,044
77	108,10	185	201.56	0,564	0,615	-0,050
98	85,28	283	286,84	0,863	0,875	-0,012
29	33,59	312	320,43	0,951	0,977	-0,026
16	6,61	328	327,04	1,000	0,997	,0,003
N=328	327,04	K

В таблице представлены частоты распределения обследованых работников предприятия по показателям форсированной жизненной емкости легких (ФЖЕЛ). Значения вариант (показателей ФЖЕЛ) в таблице не приводятся, так как они не играют роли при вычислении К(λ). Последовательность вычисления этого критерия следующая:

1) В первом столбце таблицы располагаются частоты сверху вниз в порядке возрастания вариант ряда. В столбце 2 находятся соответствующие им теоретические частоты нормального распределения.

2) В столбце 3 приведены накопленные эмпирические частоты. 1+42=43, 43+65=108, 108+77=185 и т.д. Аналогичным образом определяются накопленные теоретические частоты в столбце 4: 3,41 +21,63=25,04 ,25,04+68,42=93,46,93,46+108,10=201,56 и т.д.

3. В столбец 5 заносятся накопленные эмпирические частости. Получаются они делением накопленной частоты общее на число наблюдений: 1/328=0,003, 43/328=0,131, 108/328=0,329 и т.д. Таким же образом рассчитываются накопленные теоретические частости в столбце 6:3,41/328=0,01 ,25,04/328=0,076 и т.д.

4. В столбец 7 заносим разность накопленных эмпирических и теоретических частостей: 0,003-0,01=0,007,0,131-0,076=0,055 и т.д.

5. Для дальнейших расчетов нужна только одна разность из столбца 6, максимальная. При выборе числа его знак (плюс или минус) не учитывается. В данном случае это 0,055. По формуле получаем критерий К(λ)=0,99. Поскольку это значение меньше, чем 1,36, что обеспечивает доверительную значимость Р =0,05 , делаем вывод о том что нулевая гипотеза не отвергается. Таким образом, предположение о соответствии распределения эмпирических частот и нормального распределения остается в силе.

Построение любого теоретического распределения является отдельной и трудоёмкой задачей. Ее решение для нормального распределения требует использования на основе некоторых исходных параметров эмпирического распределения формулы , с помощью которой можно последовательно найти значения теоретических частот.

Использование встроенных функций МS Ехсвl значительно облегчает задачу.

В заключении раздела следует отметить, что, строго говоря, критерий Пирсона х² и критерий Колмогорова К(1) использовать для проверки гипотез согласия и однородности следует весьма осторожно. Это обстоятельство связано с тем, что они не позволяют обнаружить различия, которые «скрадывает» группировка. Например:

Таблица 55

Различные варианты распределения одной и той же группы по

возрасту (в % к итогам)

Возраст (лет)	1 вариант группировки	Возраст (лет)	II вариант группировки
до 20	12	-	-
20-29	22	до 29	34
30-39	33	30-39	33
40 и ст.	33	40 и ст.	33
Итого	100	Итого	100

Анализируя представленные данные (Таблица 55), нетрудно заметить, что при втором варианте группировки можно сделать ошибочное заключение об отсутствии различий в возрастных группах. В то же время, критерий Колмогорова позволяет выделить наиболее существенную разность распределений в отдельном диапазоне признака. В приведенном примере (Таблица 54) - это диапазон признака, т.е. величина ФЖЕЛ (не приведенная в таблице), которая встретилась 42 раза.