1.4.1 Критерій стійкості Гурвіца

У 1895 р. швейцарський математик А. Гурвіц запропонував свій критерій стійкості САР, що має наступне формулювання.

Для того щоб корені характеристичного рівняння САР

.

мали від’ємну натуральну частину, а САР була б стійкою, необхідно і досить при додатних коефіцієнтах рівняння, щоб усі діагональні мінори головного визначника були додатними.

Головний визначник Гурвіца складається по характеристичному рівнянню САР за наступним правилом:

1. по головній діагоналі визначника виписуються послідовно всі коефіцієнти характеристичного рівняння САР, починаючи з а₁;

2. стовпчики визначника, починаючи від головної його діагоналі, заповнюються вгору коефіцієнтами з послідовно зростаючими індексами, а вниз з послідовно спадаючими індексами;

3. усі коефіцієнти з індексами менше нуля і з індексами більше степені рівняння заміняються нулями.

Використовуючи це правило, одержуємо загальний вид

головного визначника Гурвіца

.

Відповідно до формулювання критерію Гурвіца діагональні мінори цього визначника повинні бути додатні

;

;

.

Приклад 2.2. Поводження САР описується диференціальним рівнянням

.

Визначити, використовуючи критерій Гурвіца, чи буде ця САР стійкою?

Складаємо характеристичне рівняння

,

і головний визначник Гурвіца

.

Визначаємо діагональні мінори цього визначника

;

;

.

Усі діагональні мінори головного визначника Гурвіца виявилися додатними, отже, усі корені характеристичного рівняння будуть мати від’ємні натуральні частини, а САР буде стійкою.

1.4.2 Критерій Найквіста-Михайлова

Цей критерій був запропонований у 1932 р. Найквістом для дослідження підсилювачів зі зворотним зв'язком, а в 1938р. був застосований А. В. Михайловим для дослідження САР на стійкість.

Критерій Найквіста – Михайлова дозволяє вести аналіз на стійкість замкнутих САР у залежності від стійкості або нестійкості розімкнутих систем регулювання. Відповідно до цих задач критерій має два наступних формулювання.

1. Якщо розімкнута система стійка, то для стійкості замкнутої системи необхідно і досить, щоб амплітудно-фазова характеристика розімкнутої системи не охоплювала точку з координатами (–1, j0) (рисунок 1.28, а).

jQ(w)

P(w)

2

jQ(w)

P(w)

. Якщо розімкнута система нестійка, то для того щоб замкнута система була стійкою, необхідно і досить, щоб амплітудно-фазова характеристика розімкнутої системи охоплювала точку з координатами (–1, j0) і при зміні частоти від –∞ до +∞ оберталася навколо неї m раз, де m – число коренів з додатною натуральною частиною характеристичного рівняння розімкнутої системи (рисунок 1.28, б).

а – розімкнута система стійка; 1 – замкнута система стійка; 2 – замкнута система нестійка; б – розімкнута система нестійка, а при m = 1 замкнута система стійка.

Рисунок 1.28 – Визначення стійкості замкнутої САР за критерієм Найквіста-Михайлова.

1.4.3 Елементи аналізу якості процесу регулювання

До САР ставлять дві основних вимоги: стійкість і якість процесу регулювання.

Питання стійкості були розглянуті в 1.4. До показників якості процесу регулювання відносяться: максимальне відхилення регульованої величини, перерегулювання, час регулювання (швидкодія), коливальність процесу, ступінь загасання.

Існуючі методи аналізу якості процесу регулювання розділяються на дві основні групи:

прямі методи – методи безпосереднього інтегрування диференціальних рівнянь з наступною графічною побудовою перехідного процесу регулювання;

непрямі методи – методи розподілу коренів, інтегральні оцінки якості процесу регулювання і частотних методів.

В даний час найбільш поширені частотні методи.

Достоїнство непрямих методів аналізу полягає в тому, що вони дозволяють визначити якість процесу регулювання без рішення диференціальних рівнянь.

На рисунку 1.29 представлені графіки перехідних процесів для астатичних і статичних систем.

а – для астатичних систем; б – для статичних систем.

Рисунок 1.29 – Графік перехідних процесів.

Максимальним відхиленням регульованої величини називається найбільше відхилення її в процесі регулювання, віднесене до величини збурення,

. (1.81)

При цьому для астатичних систем найбільша амплітуда коливання А₁ відраховується від осі часу, а для статичних систем – від нового сталого значення, що знаходиться на відстані від осі часу на величину статичної помилки Δу_ст.

Перерегулювання для астатичних коливальних систем – це відношення амплітуди другого напівперіоду А₂ до амплітуди першого напівперіоду А₁

, (1.82)

Перерегулювання для статичних систем – це відношення максимального відхилення параметра А₁ від нового сталого значення до статичної помилки Δу_ст.

. (1.83)

При розрахунках перерегулювання допускається до значення ψ_п = 18%.

Часом регулювання називається час t_p, після закінчення якого відхилення регульованої величини стає і залишається менше зони нечутливості регулятора Δу_неч.

Для систем зі статичними регуляторами за час регулювання іноді приймають час, після закінчення якого відхилення регульованої величини відрізняється від сталого значення не більше ніж на 5 % статичної помилки Δу_ст.

Коливальність процесу характеризується числом коливань регульованої величини за час регулювання t_p.

Ступенем загасання коливань називають величину

, (1.84)

що показує, на скільки відсотків амплітуда коливань А₁ зменшується за один період.

До одних з елементів частотного методу відноситься непрямий метод аналізу якості процесу регулювання по показнику коливальності, тобто відношенню максимуму амплітудно-частотної характеристики замкнутої системи до амплітуди при частоті ω = 0.

По рівнянню амплітудно-фазової характеристики побудуємо амплітудно-частотну характеристику А_з(ω) = f(ω) (рисунок 1.30).

Рисунок 1.30 – Амплітудно-частотна характеристика замкнутої системи.

Якщо на цій характеристиці її максимум позначити М, а амплітуду при частоті ω = 0 одиницею, то показник коливальності

. (1.85)

Звідки

. (1.86)

Шляхом ряду перетворень з рівняння (1.86) може бути отримане рівняння

. (1.87)

Це рівняння на комплексній площині є рівнянням окружності з центром, розташованим на натуральній осі в точці С з координатами С і радіусом .

Центр кола розміщений вліво від початку координат на відстані рівній .

Якщо побудувати ряд таких кіл (рисунок 1.31) для різних показників коливальності М, то те коло, що торкнеться амплітудно-фазової характеристики розімкнутої системи, і буде характеризувати показник коливальності цієї системи в замкнутому стані.

Якщо амплітудно-фазова характеристика розімкнутої системи не буде заходити в коло для обраного їй показника коливальності М_к, то ця система в замкнутому стані буде мати показник коливальності менше М_к. Показник коливальності М, як було зазначено вище, є непрямим критерієм якості регулювання. Він дає представлення про схильності САР до коливального перехідного процесу. Чим більше показник коливальності, тим більша схильність САР до коливальності і наявності перерегулювання в перехідному процесі. Чим ближче показник коливальності до одиниці, тим менш схильна САР до перерегулювання.

Для високоякісних САР показник коливальності повинний знаходитися в межах

М= 1,3 ÷ 1,5.

У контурі регулювання САР безупинно циркулює інформація яка переноситься електричним, пневматичним або

гідравлічним сигналом. З цього погляду контур регулювання являє собою канал зв'язку.

Виникнення в системі перехідних і коливальних процесів, зв'язаних з особливостями перехідних характеристик, окремих її ланок варто розглядати як перешкоду, що виникає в цих ланках. Перешкода спотворює сигнал, найчастіше викликає запізнення його й у кінцевому рахунку знижує якість регулювання.

P(w)

Р

jQ(w)

исунок 1.31 – Визначення якості процесу регулювання по

показнику коливальності.

Проблема якості регулювання – це проблема боротьби з перекручуваннями сигналу в контурі регулювання, проблема точності. Точність САР завжди кінцева.

У результаті розрахунку САР визначаються вимоги до окремих її ланок, що забезпечують стійкість і необхідну якість регулювання. Ці вимоги не повинні бути занадто жорсткими, тому що підвищення вимог до точності елементів, наприклад датчиків, ускладнює і здорожує їх, знижує в кінцевому рахунку надійність усієї системи.

Правильний аналіз можливостей системи часто дозволяє перейти від безперервного до більш простого дискретного регулювання з дискретною передачею сигналу в контурі регулювання. Це припустимо для таких багатьох технологічних процесів, у яких регульована величина змінюється повільно, а ємність об'єкта регулювання і постійна часу його великі, що рівносильно наявності кореляції в процесі.