1.3 Динамічні ланки систем автоматичного регулювання

При вивченні динаміки дії САР можна помітити, що велика кількість різних елементів систем, відмінних по своєму призначенню, конструкції і принципу дії, виявляються подібними по характеру виникаючих в них перехідних процесів, тобто однаковими по своїх динамічних властивостях. Такі елементи системи називаються елементарними типовими динамічними ланками САР, вони описуються простими алгебраїчними або звичайними диференціальними рівняннями, переважно не вищими за другий порядок. Отже, будь-яку складну САР можна розбити на невелике число таких динамічних ланок і зобразити її у вигляді структурної схеми, що значно спрощує вивчення динаміки САР.

Динамічні ланки характеризуються передавальними функціями, часовими і частотними характеристиками.

Розрізняють п'ять основних типів ланок структурної схеми автоматичних пристроїв: підсилювальна, стійка аперіодична першого порядку, стійка коливальна, диференціююча першого порядку та інтегруюча.

Для вивчення динамічних властивостей ланок в перехідний період на їх вхід подається збурення переважно у вигляді стрибкоподібної функції, яка при t < 0 не існує, а у момент t = 0 ривком зростає до x і залишається незмінною на цьому рівні при . Така функція носить назву функції Хевісайда. Часто вважають, що при t = 0 збурення стрибком зростає до величини х = 1, тоді розглядається одинична функція збурень.

1.3.1 Підсилювальна ланка

Підсилювальною називається така ланка, у якої величина на виході пропорційна величині на вході.

Рівняння підсилювальної ланки

, (1.34)

де х — вхідна величина ланки; y — вихідна величина ланки; k — коефіцієнт посилення. Передавальна функція цієї ланки

. (1.35)

При подачі на вхід підсилювальної ланки стрибкоподібної функції х вихідна величина ланки також миттєво, стрибком, зростає до величини kx (рисунок 1.6).

Амплітудно-фазова характеристика ланки

, (1.36)

тобто вона виражається комплексним числом, біля якого уявна частина звернулася в нуль, і тому графічно характеристика зображається однією точкою, розташованою на осі дійсних чисел на відстані до від початку координат (рисунок 1.7). При будь-яких змінах в

а

еличини ця точка не змінює свого розташування.

Прикладами конструктивного виконання підсилювальної ланки можуть служити важіль, зубчастий редуктор, електронна лампа і ін. (рисунок 1.8).

І

а – зміна вхідної величини;

б – зміна вихідної величини

Рисунок 1.6 – Графік перехідного процесу підсилювальної ланки.

.

ноді підсилювальну ланку називають: безінерційною, пропорційною, безємкісною ланкою.

Рисунок 1.7 – Амплітудно-фазова характеристика підсилюючої ланки

а – важіль; б – редуктор; в – електронна лампа.

Рисунок 1.8 – Приклади конструктив-ного виконання підсилюючої ланки.

1.3.2 Стійка аперіодична ланка першого порядку

Стійкою аперіодичною ланкою першого порядку називається така ланка, для якої при стрибкоподібній зміні величини на вході величина на виході аперіодично (за законом експоненти) прагне нового усталеного значення.

Диференціальне рівняння цієї ланки

, (1.37)

де Т — постійна часу ланки, в с.

Запис цього рівняння в операторній формі

, (1.38)

а його передавальна функція

. (1.39)

Провівши перетворення по Лапласу рівняння (1.37),

одержуємо

; (1.40)

. (1.41)

Використовуючи таблиці відповідності оригіналів і зображень по Лапласу, одержуємо оригінал виразу (1.41) або рішення рівняння (1.37)

. (1.42)

Формула (1.42) є рівнянням експоненти. Тут при t = 0 вихідна величина y = 0, а при вихідна величина y прямує до свого усталеного значення (рисунок 1.9).

Отже, при подачі на вхід ланки стрибкоподібної функції x вихідна величина y прагнутиме за законом експоненти до нового усталеного значення.

З

а — зміна вхідної величини; б — зміна вихідної величини.

Рисунок 1.9 – Графік перехідного процесу стійкої аперіодичної ланки першого порядку.

гідно властивостей експоненти дотична, проведена до неї на початку координат або в будь-якій іншій точці, відсікає на асимптоті відрізок, рівний постійною часу ланки T. При t = Т крива досягає значення . Теоретично час розгону об'єкту до усталеного значення регульованої величини, як ми бачимо, рівний безкінечності. Проте в практичних розрахунках приймають, що розгін об'єкту закін-чується після закінчення часу , при цьому помилка буде не більше 1,8 — 0,7% відповідно.

Амплітудно-фазова характеристика ланки може бути одержана, якщо прийняти і підставити це значення в рівняння передавальної функції ланки (1.39), тоді

. (1.43)

Позбавимося від уявної частини в знаменнику і розділимо в одержаному виразі дійсну і уявну частини

. (1.44)

Ми одержали рівняння (1.44) амплітудно-фазової характеристики стійкої аперіодичної ланки першого порядку в декартових координатах, яка в загальному вигляді записується у формі

, (1.45)

де в даному випадку дійсна частина

(1.46)

і уявна частина

. (1.47)

Напишемо це рівняння в полярних координатах

;

;

;

. (1.48)

Для побудови графіка амплітудно-фазової характеристики змінюватимемо в рівнянні (1.44) величину від нуля до безкінечності. Знайдемо крайні точки графіка

,

тобто в цьому випадку ми одержали невизначеність, яку розкриємо, застосовуючи правило Лопіталя

.

Отже,

.

Одержані точки лежать: одна на дійсній осі, а інша на початку координат і обмежують графік амплітудно-фазової характеристики, представляючи собою півколо з радіусом, рівним , розташоване у четвертому квадранті, що спирається на вісь дійсних як на діаметр і охоплююче початок координат комплексної площини.

Для перевірки цього припущення достатньо визначити ординату точки центру цього півкола. Абсциса точки

центру півкола

.

Звідки

.

Підставляючи це значення у вираз для ординати точки центру півкола, одержимо

,

тобто ордината точки центру півкола дійсно рівна її радіусу, що і вимагалося довести.

Прикладами конструктивного виконання стійкої аперіодичної ланки можуть служити: пасивні чотириполюсники RC (фільтр) і LR - еквівалентна схема або електрична модель обмоток збудження генераторів і електродвигунів, термопара, магнітний підсилювач і т. п., частина яких показана на рисунку 1.10.

Іноді стійку аперіодичну ланку називають інерційною, релаксаційною, одноємнісною, статичною.

Приклад 1.1. Побудувати амплітудно-фазову характеристику стійкої аперіодичної ланки при значеннях: коефіцієнт підсилення і постійна часу ланки Т = 0,5 сек.

Підставляючи ці значення в рівняння передавальної функції ланки, одержуємо

jQ(w)

.

П

P(w)

ровівши заміну , одержуємо рівняння амплітудно-фазової характеристики

.

Позбавляючись від уявності в знаменнику, одержуємо

.

Тут дійна частина

і уявна частина

.

Для побудови амплітудно-фазової характеристики змінюватимемо частоту від нуля до безкінечності

За одержаними даними будуємо амплітудно-фазову характеристику (рисунок 1.11) — півколо, що проходить через початок координат, що спирається на дійсну вісь, як на діаметр, і розташоване в четвертому квадранті.