1.2 Передавальні функції і частотні характерстіки

1.2.1 Передавальні функції

Для кращого вивчення автоматичних систем їх звичайно розбивають на найпростіші ланки, що володіють однаковими динамічними властивостями, а потім зображають у вигляді структурної схеми автоматичної системи, яка показує кількість ланок, їх вигляд і характер зв'язків між ними (рисунок 1.2).

Кожна ланка має свою вхідну і вихідну величину. Домовимося позначати вхідну величину ланки , а вихідну — .

Ланки структурної схеми володіють однонаправленістю дії, і тому вихідна величина однієї ланки є в той же час вхідною величиною наступної ланки.

Рисунок 1.2 – Структурна схема послідовно включених ланок системи.

Для полегшення математичної обробки рівнянь при аналізі питань автоматичного регулювання вводять передавальні функції.

Передавальною функцією ланки або системи називається відношення зображення по Лапласу вихідної величини до зображення по Лапласу вхідної величини при нульових початкових умовах.

Динамічні властивості ланок, рівно як і системи автоматичного регулювання, найбільш часто описуються неоднорідними диференціальними рівняннями.

Загальний вигляд таких рівнянь

(1.2)

Переважно в цьому випадку .

Рівняння (1.2) можна записати в операторній формі,

вважаючи, що

(1.3)

звідси випливає

. (1.4)

Операторна форма запису рівняння (1.2) при цьому матиме вигляд

(1.5)

Оскільки при нульових початкових умовах операторна форма запису диференціальних рівнянь співпадає із записом рівнянь, перетворених по Лапласу, передавальна функція запишеться в наступній формі:

. (1.6)

Це рівняння часто пишуть у такому вигляді

. (1.7)

Знаючи передавальні функції кожної ланки, можна також знайти і загальну передавальну функцію групи ланок, Сполучених послідовно або паралель.

При послідовному з'єднанні ланок (рисунок 1.2) запишемо рівняння кожної ланки у формі (1.7)

(1.8)

Перемноживши між собою ліві, а потім праві частини цих рівнянь, одержуємо

. (1.9)

Оскільки ланки володіють однонаправленістю дії, то

. (1.10)

Тоді з виразу (1.9) виходить, що

. (1.11)

Звідси загальна передавальна функція послідовно сполучених ланок

. (1.12)

З виразу (1.12) випливає правило: загальна передавальна функція послідовно сполучених ланок направленої дії рівна добутку передавальних функцій цих ланок.

Під паралельним з'єднанням ланок направленої дії (рисунок 1.3) розуміється таке їх з'єднання, при якому на вхід кожної ланки подається однакове збурення, а загальна вихідна величина цієї групи ланок рівна сумі вихідних величин окремих ланок.

Таку схему з'єднання ланок можна собі представити, наприклад, в пневматичній системі автоматичного регулювання, коли декілька ланок приєднано до одного пневматичного датчика і від нього одержують на свій вхід в кожний момент часу один і той же тиск.

Д

Рисунок 1.3 – Структурна схема паралельно включених ланок системи

ля кожної ланки схеми рисунка 1.3 можна записати

Склавши цю рівність, одержимо

. (1.13)

З виразу (1.13) визначимо загальну передавальну функцію:

. (1.14)

Звідси випливає правило: загальна передавальна функція паралельно сполучених ланок направленої дії рівна сумі передавальних функцій цих ланок.

Також можна знайти загальну передавальну функцію замкнутої системи. Для цього замкнемо зворотним зв'язком розімкнену систему, що складається з ряду послідовно сполучених ланок (рисунок 1.4). При цьому одержуємо вхідну величину першої ланки системи

. (1.15)

Загальну передавальну функцію розімкненої системи знаходимо по формулі (1.12)

; ;

,

звідки

. (1.16)

З виразу (1.16) одержуємо загальну передавальну функцію замкненої системи

;

. (1.17)

Аналогічно цьому знаходимо загальну передавальну функцію замкнутої САР, якщо в зворотний зв'язок включений автоматичний регулятор (рисунок 1.9). Тоді

; ;

;

. (1.18)

Рисунок 1.4 – Структурна схема САР, замкнута жорстким зворотним зв'язком.

З виразу (1.18) одержуємо загальну передавальну функцію замкнутої САР

;

. (1.19)

Рисунок 1.5 – Структурна схема САР, замкнута зворотним зв'язком з регулятором.

За відсутності зовнішньої дії на систему, коли , а одержуємо

;

,

або

. (1.20)

Вираз (1.20) і буде в цьому випадку рівнянням замкнутої системи.