1.2.2 Амплітудно – фазові характеристики
Окрім передавальних функцій в теорії автоматичного регулювання знайшли широке вживання дуже зручні для аналізу рівнянь частотні характеристики, по яких можна судити про динамічні властивості складних замкнутих САР.
Якщо подати на вхід ланки або розімкненої системи гармонійне збурення, то після закінчення достатньо тривалого проміжку часу, коли завершиться перехідний процес, на виході ланки або системи встановляться також гармонійні коливання з тією ж частотою, але з іншою амплітудою і фазою, що можна записати в загальноприйнятій символічній формі
;
(1.21)
;
(1.22)
де
— амплітуда гармонійного збурення;
— амплітуда коливань на виході ланки
або системи;
— частота коливань;
— фаза коливань на виході.
Символічність запису виразів (1.21) і (1.22) полягає в тому, що насправді ліві частини цих виразів рівні уявній складовій правих частин, проте загальноприйнято для скорочення запису використовувати цю скорочену «символічну» форму.
Вважаючи, що ланка або розімкнена САР описуються в загальному випадку рівнянням (1.2), підставимо в нього
вирази (1.21) і (1.22) і одержимо
(1.23)
Розділивши обидві
частини цього рівняння на
і ввівши по аналогії з (1.6) нове позначення,
одержуємо
(1.24)
або в більш скороченій формі
.
(1.25)
Вираз
називається комплексною частотною
функцією ланки або системи і, як видно,
порівнюючи з рівнянням (1.6), може бути
одержано шляхом простої підстановки в
передавальну функцію ланки або системи
значення
. (1.26)
Комплексна частотна функція може бути записана в декартових координатах як комплексне число
,
(1.27)
На цю можливість використання вказав англійський учений Н. Найквист (N. Nyquist) в 1932 р. стосовно дослідження стійкості електронних підсилювачів із зворотним зв'язком, а на можливість вживання частотних методів аналізу до систем автоматичного регулювання вказав в 1938 р. радянський учений А. В. Михайлов.
Де
—
дійсна частина комплексної частотної
функції;
— уявна частина комплексної частотної
функції.
Ця ж частотна функція може бути записана і в полярних координатах або, як часто говорять, в показовій або векторній формі
,
(1.28)
де
-
модуль комплексної функції;
-
її фаза;
;
(1.29)
;
.
(1.30)
Комплексна частотна функція (1.28) графічно може бути представлена як вектор, який виходить з початку координат комплексної площини і має довжину, рівну модулю .
Якщо в рівнянні
(1.28) змінювати частоту
від 0 до
,
то цей вектор, приймаючи різну довжину,
буде провертатися навкруг початку
координат, і його кінець опише деяку
криву (годограф вектора), яка називається
амплітудно-фазовою характеристикою.
Можна побудувати
амплітудно-фазову характеристику,
змінюючи частоту
від
до
,
проте вітка характеристики, що виходить
при зміні частоти від 0 до
,
є дзеркальним відображенням відносно
дійсної осі вітки, одержаної при змінах
частоти від 0 до
.
Через те при практичних розрахунках
достатньо обмежитися тільки додатними
значеннями частоти.
Розширені амплітудно-фазові характеристики використовуються при розв’язку питання про оптимальне налаштування регуляторів, а також в інших розрахунках. Рівняння цих характеристик виходять, якщо у вирази передавальних функцій ланки або системи підставити значення
.
(1.31)
При цьому
передбачається, що дійсна частина
комплексного числа
також залежить від частоти
.
Позитивне
число
пов'язане з величиною ступеня
затухання перехідного коливального
процесу, який оцінюється як відносна
різниця двох сусідніх позитивних
амплітуд
,
(1.32)
де
— логарифмічний декремент затухання.
З цього виразу знаходимо
.
(1.33)
Для загальноприйнятого
при розрахунках ступеня затухання
,
величина m приймає значення
m= 0,221.