Биномиальное распределение.

Некоторые n испытаний называются схемой испытаний Бернулли^*, если испытания независимы, в каждом из них происходит событие А с вероятностью p=P(A), либо событие А не происходит (происходит событие` ) с вероятностью q=1-p=P( ).

Найдем вероятность Р_n(m) того, что в результате проведенных n испытаний событие А произошло в точности m раз.

Рассмотрим композицию n независимых испытаний и построим композиционное пространство элементраных событий. Общий вид элементарного события этого пространства:

,

где a_i=0..1, А¹=А, А⁰= .

При этом вероятность наступления такого элементарного события в сложном испытании в силу независимости испытаний равна:

.

Рассмотрим в композиционном вероятностном пространстве событие В: в n испытаниях событие А произошло m раз. Событие В состоит из элементарных событий, в каждое из которых символ А входит m раз, символ ` –(n-m) раз. Вероятность каждого из этих элементарных событий одинакова и равна p^mq^n-m. Следовательно, на основании III аксиомы теории вероятностей искомая вероятность P_n(m) равняется:

,

где

Полученные вероятности при фиксированном n и различных m=0..n носят название биномиального распределения вероятностей.

Пример. Игральный кубик бросается 4 раза. Определить вероятность того, что “шестерка” выпадет 2 раза.

В данном случае событие А – выпадение “шестерки” при одном бросании кубика. Очевидно, р=1/6, q=5/6.

Искомая вероятность Р₄(2) равна:

Р₄(2)= .

Случайные величины.

1. Основные определения.

Прежде, чем дать формальное определение случайной величины, на простом примере выясним те свойства, которые мы интуитивно вкладываем в эти понятия.

В качестве испытания рассмотрим подбрасывание игрального кубика, так что , где w_і - выпадение грани с номером і, . Пусть выигрыш игрока есть номер выпавшей грани, умноженный на 10. Величина выигрыша - числовая величина, зависящая от элементарного события, которое реализуется в данном испытании. Если выигрыш игрока обозначить через j, то j=j(w), и в данном примере j(w_і)=10·і. Итак, случайная величина выигрыша есть некоторая числовая скалярная функция, аргументом которой является элементарное событие из W.Таким образом мы имеем дело с отображением W®R¹.

Далее, нас естественно будет интересовать вопрос, как измерять вероятности, с которыми наша величина принимает те или иные значения, вероятности, с которыми она превышает некоторые значения или является меньше этих значений, попадает в некоторые интервалы и т. п. Но вероятности определены лишь для случайных событий, поэтому, если нас интересует вероятность попадания величины j(w) в некоторую область В на действительной оси, то необходимо, чтобы {w: j(w)ÎВ} было случайным событием, то есть принадлежало s-алгебре подмножества из W, для которых определена вероятность. Это накладывает определенные ограничения на вид функции j(w) и ограничения на класс подмножеств на действительной оси, из которого выбирается В.

Теперь перейдем к формальному определению.

Пусть имеется вероятностное пространство (W, s, Р).

Определение 1. Числовая скалярная функция j=j(w) называется измеримой относительно s-алгебры s , если для каждого действительного х множество (w:j(w)<x) принадлежит s.

Определение 2. Случайной величиной называется измеримая относительно s числовая скалярная функция j(w), аргументом которой является элементарное событие wÎW. Если произведено испытание, в результате которого произошло некоторое элементарное событие wÎW, то в соответствии с функцией j(w) этому событию сопоставляется число, которое называется реализацией случайной величины в данном испытании.

Таким образом для случайной величины j(w) определена вероятность

F(x)=P(w:j(w)<x)

для каждого действительного х.

Если рассматривать х как переменную, изменяющуюся от -¥ до +¥, то F(x) есть функция переменной х; ее называют функцией распределения случайной величины j(w). При фиксированном х она равна вероятности того, что случайная величина попадет в область на действительной оси левее точки х.