Общий случай центральной предельной теоремы. (без доказательства)

Имеется последовательность независимых случайных величин X₁......X_n, распределенных необязательно одинаково. Вводим обозначение

MX_k=a_k; DX_k=b_k²; M|X_k-a_k|³=c_k³.

по распределению сходится к нормированному нормальному закону.

Инженерная трактовка общего случая цпт

Сумма достаточного большого числа независимых случайных величин распределяется приблизительно нормально, если ни одна из них не доминирует над остальными. На этом основана вся теория измерения, в которой ошибка измерения (как суммарная ошибка) считается распределенной нормально.

Рассмотрим множество случайных величин Х₁ , Х₂......Х_n.

Определение. ХФ множество случайных величин Х₁, Х₂......Х_n. называется функция вида j_X(t)=Me^i(t,x), где

Записать ХФ для ДСВ самостоятельно. А если НСВ, и имеется плотность вероятности f(x₁....x_n), то .

Многомерные ХФ и многомерная плотность вероятности и функция распределения имеют те же свойства, что для одномерного случая.

1. Многомерная ХФ и многомерная функция распределения -взаимооднозначны. Мы докажем это для случая, когда есть k-мерная плотность вероятности. Если , то в этом случае f(x) однозначно задается интегралом

   Плотность вероятности однозначно задается по ХФ.

2. Полностью, с точностью до переобозначений, сохраняется определение слабой сходимости k-мерной функции распределения к F(x) в каждой точке непрерывности. F_n(x)®F(x).

3. Справедливы полностью аналоги прямой и обратной теоремы сходимости, так как если F_n(x)®F(x), то j_n(t)®j_X(t) и, следовательно, ряд X₍₁₎, X₍₂₎,...,X_(n)®X. Обратная теорема, если в точке j_X(t) - непрерывна, а j_n(t)®j_X(t) в каждой точке, то F_n(x)®F(x).

Векторный аналог цпт

ХФ k-мерной НСВ имеет вид:

,

где В-матрица ковариаций компонент k-мерного нормированного вектора B_[i,j]=cov(x_i,x_j). Имеется последовательность независимых k-мерных одинаково распределенных случайных векторов X(1), X(2), ..., X(n).

Одинаково распределенные вектора X(i) и X(j) обозначают, что у них одинаковые k-мерные функции распределения, а независимость понимается так:

- независимые случайные величины.

Для всех n вектор X(n) имеет одну и туже ковариционную матрицу В, которая является конечной. Имеется вектор

Рассмотрим ряд случайных величин , где

Векторный аналог ЦПТ формулируется так. Последовательность случайных векторов по распределению сходится к k-мерному нормальному вектору с нулевым вектором математического ожидания и ковариционной матрицей В.

Доказательство теоремы полностью повторяет скалярный случай и состоит из следующих этапов:

1. Находится выражение для ХФ вектора

2. Находится предел полученного выражения при n®¥. Он оказывается равным: .

3. Доказательство теоремы завершается ссылкой на обратную теорему.

*Морган де Огастес (Августус) (1806-1871) - шотландский математик и логик, секретарь Королевского астрономического общества, чл. Лондонского королевского общества, первый президент Лондонского математического королевства.

* Мизес Рихард Эдлер (1883-1958) - немецкий математик и механик (родился во Львове). Профессор Страсбургского, Берлинского, Стамбульского и Гарвардского университетов.

^** Колмогоров Андрей Николаевич (1903-1987) - видающийся математик современности, академик АН СССР, профессор Московского университета. Біл избран членом более чем двадцати иностранных академий и научных обществ Берлинского, Стамбульского и Гарвардского университетов.

*Названа именем автора - Бореля Феликса Эдуарда Жюстена Эмиля (1871 - 1956), французского математика, члена Парижской АН.

* Каратеодори Константин (1873-1950)- немецкий математик, профессор Мюнхенского университета.

* Бернштейн Сергей Натанович (1880-1968) - советский математик, академик АН СССР, академик АН УССР.

* Байес (Бейес) Томас (1702-1761) - английский математик, священник, член Лондонского королевского общества.

* Шеннон Клод Ельвуд (род. 1916) - американский математик и инженер, профессор Массачусетского технологического института, член Национальной АН США.

* Бернулли Якоб (1654-1705) – швейцарский математик, профессор университета в г. Базеле

1 Маклорен Колин ( 1698 - 1746 ) - шотландский математик, профессор, член Лондонского королевского общества, ученик и последователь Ньютона.

2 Ньютон Ісаак ( 1643 - 1727 ) - гениальный английский физик, астроном и математик, президент Лондонского королевского общества, профессор Кембриджского университета.

* Пуассон Симеон Дени (1781-1840) – французский механик, физик и математик, профессор Сорбонны, член Парижской АН.

* Гаусс Карл Фридрих (1777-1855) - великий немецкий математик, астроном, физик и геодезист,

профессор Геттингенского университета, директор Геттингенской астрономической обсерватории.

* Лаплас Пьер Симон (1749 - 1827) - французский математик, физик и астроном, член Парижской АН.

78