Примеры характеристических функций (хф)

1 Биноминальное распределение.

Показать, что j_X(t)=(e^itp+q)ⁿ

2 Распределение Пуассона.

показать самим

3 ХФ константы.

Доказать самим j_c(t)=e^itc

4 Равномерное распределение.

5 Нормальное распределение.

Будем считать ХФ нормированного нормального распределения.

Показать самим , что

Если Y=aX+b, то j_Y(t)=e^itbj_X(at). Расcмотрим СВ Y=sX+n; MX=n; DY=s²DX=s²

Доказывается, что в общем случае ХФ однозначно определяет функцию распределения произвольной СВ. F(x) <-> j_X(t). Пусть СВ непрерывна и ее плотность вероятности f(x) .Тогда , то есть ХФ это Фурье преобразование функции f(x). Если конечный интеграл , то f(x) однозначно определяется обратным Фурье преобразованием .

Оказывается, что существует не только взаимооднозначное соответствие между F(x) и ХФ, но также взаимооднозначное предельное соответствие между ними.

Определение. Последовательность функций распределения слабо сходится к функции распределения F(x) если она сходится в каждой точке непрерывности функции F(x).

Из этого определения вытекает следующее: если , то есть в точках А и В Х-непрерывен. Приведем без доказательства следующие две теоремы.

Теорема 1(прямая). Пусть последовательность функций распределения . Тогда соответственно последовательность ХФ-й j_n(t), порожденная F_n(x) в каждой точке сходится к ХФ j(t), которая определяется функцией распределения F(x).

Теорема 2 (обратная). Пусть последовательность ХФ-й в каждой точке сходится к ХФ j(t). И в точке t=0 j(t) – непрерывна. Тогда последовательность функций распределения F_n(x), порожденная j_n(t) слабо сходится к F(x), порожденной j(t).

Центральная предельная теорема.

Рассмотрим ряд независимых, произвольно, но одинаково распределенных СВ X₁,X₂,... ,X_n. При этом . Рассмотрим СВ

- нормированная композиция n СВ.

Показать самим, что

Тогда при n®¥ по вероятности последовательность СВ `Z_n сходится к нормированному нормальному распределению.

А вероятность попадания СВ в интервал [а, b] может быть приближенно определена:

, где

Доказательство. Для упрощения запишем `X<sub>k</sub>=X<sub>k</sub>–n и найдем ХФ , используя 4 свойство. У`X_k конечен первый момент и второй момент, следовательно имеем право записать

Рассмотрим случайную величину , тогда ее ХФ

По определению теоремы X_k и`X_k независимых случайных величин, тогда на основании 3-го свойства ХФ: . Тогда при (доказать самим). Получим в пределе ХФ, соответствующую нормированному нормальному распределению.

Следствие. По результату взаимооднозначности между F(x) и j_X(t). Рассмотрим сумму независимых нормально распределенных независимых величин . ХФ каждого Х_i:

.

На основании 3-го свойства следовательно сумма распределения нормальна.

Теорема Муавра-Лапласа

(Практическое применение центральной теоремы)

При n®¥ СВ распределена нормировано нормально. Пусть имеется случайная величина X, над которой проведено n-испытаний и полученны числа x₁...x_n. С точки зрения ТВ результаты этих испытаний можно считать результатом одного испытания над n-мерной случайной величиной с независимыми компонентами, распределенными как и случайная величина Х. И следовательно число можно считать реализацией случайной величины, распределенной по нормальному закону. На практике n обычно берется для n>20.

Теорема. Рассмотрим схему испытаний Бернули и связанную с ней систему случайных величин Х_i. И следовательно

т. к. MX_i=p; DX_i=pq

Если обозначать через число появления некоторого события в результате n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступления этого события равна р(0<p<1), это согласно теореме Муавра-Лапласа справедливо предельное равенство

Если n конечное, то вероятность нахождения числа появления некоторого события в пределах [m₁, m₂] вычисляется по приближенной формуле

Исследования сходимости в ЦПТ показали, что более точное приближение дает формула