Условные вероятности

Часто приходится рассматривать вероятность наступления события А в результате испытания, если известно, что в этом испытании произошло событие В, имеющее положительную вероятность. Эту условную вероятность обозначают Р(А/В). Прежде чем давать общее формальное определение условной вероятности, рассмотрим простейший пример.

Пусть пространство элементарных событий W состоит из m равновероятных событий, событию АВ благоприятствует r элементарных событий.

Заметим, что согласно классическому определению вероятности

Р(В)=t/m , P(AB)=r/m.

Определим условную вероятность Р(А/В)

Известно, что в данном испытании событие В произошло, и, таким образом, множество всех возможных в данном испытании элементарных событий “сузилось” до t элементарных событий. В силу равновозможности, вероятность каждого из элементарных событий, входящего в В, теперь естественно считать 1/t. Событию А благоприятствуют теперь только r элементарных событий. В силу равновозможности естественно определить

Рассмотрим теперь более общую ситуацию, когда пространство W не обязательно состоит из равновозможных элементарных событий. Пусть проведено n испытаний. Пусть в n_B испытаниях произошло событие В, из них в n_AB произошло событие А. Найдем условную частость наступления события А при условии, что произошло событие В:

Ранее уже отмечалось, что частость наступления события в определенном смысле сходится к вероятности при количестве испытаний, стремящемся к бесконечности.

Сказанное позволяет дать следующее определение условной вероятности.

Определение. Пусть (W, F, P)–вероятностное пространство, АÎF, ВÎF, Р(В)>0. Условной вероятностью события А при условии, что произошло событие В, называют величину

Р(А/В)=Р(АВ)/Р(В).

При Р(В)=0 условная вероятность Р(А/В) не определена.

Можно убедиться, что условные вероятности обладают следующими свойствами:

1. Р(А/В)>=0

2. P(W /B)=1

3. P(B/B)=1

4. если {A_i} - последовательность попарно несовместных случайных событий (А_іА_j=Æ, i ¹ j), то

.

Свойства 1)-3) проверить самостоятельно . Докажем 4).

Имеем

Если обозначить через F_b s-алгебру всех множеств вида АВ , то из свойств 1)-4) выходит , что (B, F_b, P(^./B))-вероятностное пространство.

Из определения вероятности следует

Р(АВ)=Р(В)Р(А/В)=Р(А)Р(В/А),

если Р(А)>0,P(B)>0. Это соотношение носит название формулы умножения вероятностей.

Она обобщается на случай произвольного количества k сомножителей. А именно, пусть имеется система случайных событий А₁,A₂...A_k, и пусть Р(A₁A₂.....A_k-1)>0.Тогда

Прежде всего заметим, что из

и из Р(А₁А₂...А_к-1)>0 выходит, что

.

Следовательно, все условные вероятности определены.

Далее воспользуемся методом математической индукции . Ранее установлено, что формула верна при к=2 . Пусть она верна для произведения (к-1) случайных событий , то есть:

Обозначим , так что P(A₁A₂...A_k-1)=P(B).

Тогда

P(A₁A₂...A_k)=P(A_kB)=P(B)×P(A_kB)=

=P(A₁) P(A₂A_kA₁)...Р(A_k-1 /А₁A₂.... A_k-2) Р(A_k /А₁A₂.... A_k-1).

Таким образом, формула умножения в общем случае доказана.