Производящая функция.

Довольно часто оказывается удобнее рассматривать вместо распределения случайной величины какие - либо его преобразования. В этом курсе мы познакомимся с преобразованиями, которые носят названия характеристических и производящих функций.

Пусть дискретная случайная величина Х характеризуется таблицей

Характеристической функцией случайной величины Х называется комплексно-значная функция

где t - действительная переменная.

Со свойствами характеристических функций и их применением мы познакомимся позже.

Производящей функцией моментов называется функция действительного аргумента t вида

При бесконечном s мы будем рассматривать такие распределения, для которых соответствующие ряды сходятся абсолютно при всех t из некоторого интервала, включающего точку ноль.

Свойства производящей функции

1. Производная k-го порядка производящей функции в точке t = 0 дает начальный момент k-го порядка, то есть

Действительно,

Заметим, что

2. Разложение производящей функции в ряд Маклорена¹ имеет вид:

( тут мы допускаем, что для нашего распределения производящая функция аналитична в нуле).

Это очевидное следствие свойства (1).

Пример. Рассмотрим случайную величину, распределенную по биномиальному закону:

Найдем производящую функцию:

Здесь была использована формула бинома Ньютона²:

Самостоятельно проверить, что

.

Первая модель распределения Пуассона*.

Пусть проведена неограниченно большая серия испытаний, в результате каждого испытания случайным образом появляется точка на числовой оси. Предполагаем, что случайное распределение точек на числовой оси удовлетворяет следующим трем свойствам.

1.Стационарность. Вероятность того, что на отрезок заданной длины попадает определенное количество точек определяется только длиной этого отрезка и не зависит от расположения этого отрезка на числовой оси.

2.Ординарность. Вероятность того, что на достаточно малый отрезок длины Dx попадает одна точка, является величиной порядка Dх.

Вероятность того, что на этот отрезок попадет более чем одна точка, является бесконечно малой более высокого порядка, чем Dх.

3.Свойство отсутствия последствия. Вероятность того, что на некоторый отрезок попадает определенное количество точек не зависит от того, сколько точек попало на отрезки, которые не пересекаются с данным.

Найдем вероятность того, что на отрезок длины l попадает m точек.

Обозначим через Х¹ случайную величину, равную количеству точек, выпавших на отрезок единичной длины:

Обозначим MX¹=l. По свойству стационарности оно одинаково для всех отрезков единичной длины.

Рассмотрим произвольный отрезок длины l и свяжем с ним случайную величину Х^l – количество точек, попадающих в отрезок длины l. Используя свойство математического ожидания (которое будет доказано позже) – математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий, покажите самостоятельно, что MX^l=ll.

Разобьем этот отрезок на n отрезков длинны Dх=l/n. Тогда с определенной погрешностью, которая тем меньше, чем больше n, можно считать, что

где Р_Dх(0) – вероятность того, что на отрезок длины Dх не попадает ни одна точка;

Р_Dх(1) – вероятность того, что на отрезок длины Dх попадает одна точка.

Очевидно

Таким образом, для достаточно малого отрезка длины Dх вероятность попадания в него одной точки , а вероятность того, что не попадет ни одна точка .

В наших предположениях на отрезок длины l попадет m точек (приближенно) тогда, когда в m малых отрезков попадет по одной точке. На основании 3-го свойства и в соответствии с биномиальным распределением

Точную вероятность получим путем предельного перехода при n ® ¥:

где a=ll=MX^l, l-длина отрезка; l-математическое ожидание количества точек, которое попадает на отрезок единичной длины

Самостоятельно проверить, что

Распределение вероятностей

p_m= ,

называется распределением Пуассона.

Найдем производящую функцию для случайной величины, имеющей распределение Пуассона:

m_X(t)=

Используя свойства производящей функции самостоятельно убедиться, что

MX=a, n₂=a²+a, DX=a.