Операции над событиями.

Различные операции над событиями удобно отождествлять с обычными теоретико-множествеными операциями.

1. Событие C называется суммой (объединением) событий A и B и обозначается C=AB, если оно состоит из всех элементарных событий, входящих или в A, или в B (или и в А и в В одновременно). При этом, если элементарное событие входит и в A, и в B, то в C оно входит один раз. Говорят еще, что в результате испытания происходит событие С=АВ тогда и только тогда, когда происходят или А, или В (или оба вместе).

С=АВ

Аналогичный смысл имеет сумма любого ( даже несчетного ) числа событий. Если I- произвольное множество значений некоторого индекса i, А_і - некоторое множество элементарных событий ( iÎI ), то сумма (объединение) А_і есть событие, происходящее тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий А_і.

Для любого А

АV=AÆ=A, AU=AW=U=W, AA=A.

2. Событие C называется произведением (пересечением) событий A и B и обозначается С=АВ (или С=А×В), если оно состоит из всех элементарных событий, входящих и в A, и в B одновременно. Говорят, что в результате испытания происходит событие С=АВ тогда и только тогда, когда в результате испытания происходят события и А и В одновременно.

С=АВ

Аналогично определяется произведение любого числа событий ïА_і как событие, происходящее тогда и только тогда, когда происходят все события А_і, iÎI, одновременно в результате испытания.

Для любого А имеет место:

AV=AÆ=V=Æ, AU=AW=A, AA=A.

Заметим, что операции сложения и умножения событий удовлетворяют законам:

• коммутативности: АВ=ВА; АВ=ВА;

• ассоциативности: А(ВС)=(АВ)С; А(ВС)=(АВ) С;

• дистрибутивности: А(ВС)=АВАС.

3. Событие С называется разностью событий A и B и обозначается С=А\В, если С состоит из тех и только тех элементарных событий, которые входят в А и не входят в В. Говорят, что событие С=А\В происходит тогда и только тогда, когда в результате испытания происходит событие А и не происходит событие В.

С=А\В

4. Противоположным событию А называется событие =W\А. Говорят, что в результате испытания происходит противоположное событие тогда и только тогда, когда в этом испытании не происходит событие А.

B

Для любого А имеют место:

А =U=W, A =V=Æ.

5. События A и B называются несовместными, если они не имеют общих элементарных событий. Говорят, что события А и В несовместны, если они не могут произойти в результате одного испытания

В

Для несовместных событий АВ=V=Æ.

Пример:

Для рассмотренного ранее однократного бросания игральной кости, когда W={w₁,w₂,w₃,...,w₆}, A₁={w₁,w₃,w₅}, A₂={w₁,w₂,w₃}, имеем:

А₁А₂={w₁,w₂,w₃,w₅}, А₁А₂={w₁,w₃}, ₁={w₂,w₄,w₆}, ₂={w₄,w₅,w₆}, А₁\А₂={w₅}.

Имеют место формулы де Моргана^*:

, .

Докажем первую формулу. Возьмем произвольное wÎ . Тогда очевидна цепочка заключений: wÎ Þ wÏАВ Þ wÏА, wÏВ Þ wÎ , wÎ Þ × .

Аналогично, для каждого wÎ × имеем: wÎ × Þ wÎ , wÎ Þ

Þ wÏА, wÏВ Þ wÏАUВ Þ wÎ .

По определению равенства двух множеств получаем первое равенство де Моргана.

Самостоятельно доказать второе равенство, а также обобщить равенства на произвольное число слагаемых и сомножителей .

Заметим, что в старой литературе для событий вместо знака сумы “” часто используют знак “+”. В современной литературе знак ”+” используется только для несовместных слагаемых (соответственно знак “å” - для многих несовместных слагаемых). Аналогично, вместо знака минус “\” часто используется знак “-“. В современной литературе знак “-“ используется только тогда когда вычитаемое есть собственное подмножество уменьшаемого, т. е. пишут А-В ,когда ВÍА.