Независимые двумерные дискретные случайные величины

Рассмотрим двумерную дискретную случайную величину (X,Y). Ее вероятностное пространство задается таблицей:

Определение: Случайные величины X и Y называются независимыми, если для каждой пары (x_i,y_j):

Самим доказать, что при этом для условной вероятности Y:

,

т.е. условная вероятность совпадает с безусловной.

Аналогично:

Доказать самим, что если испытание, породившее дискретную случайную величину является композицией двух независимых испытаний, то в этом случае X и Y -независимы.

Двумерные непрерывные независимые случайные величины

Определение: Случайные величины X и Y называются независимыми, если двумерная функция распределения равна:

Покажем, что из этого определения вытекает, что в общем случае

Покажем, что если X и Y порождены композицией двух независимых испытаний, то X и Y -независимы. Рассмотрим события:

По определению независимых испытаний события и -независимы.

Многомерные дискретные случайные величины

Определение: Многомерная величина X₁,..., X_n называется дискретной, если ее вероятностное пространство есть:

(Доказать самим).

Многомерные непрерывные случайные величины

Определение 1:

Определение 2:

1. Имеем X₁,..., X_n - непрерывные случайные величины. Рассмотрим k-мерную случайную величину

Тогда аналогично двумерному случаю доказывается, что плотность вероятности -мерной случайной величины получается путем интегрирования n-мерной плотности в бесконечных пределах по всем переменным, которые не соответствуют компонентам k-мерной случайной величины.

2) Введем понятие условной плотности вероятности k-мерной случайной величины ( ) при условии, что

Обоснование этой формулы аналогично обоснованию двумерного случая.

Мерные независимые величины

а) Дискретный случай

Определение: Дискретные случайные величины X_i называются независимыми, если

Случайные величины называются независимыми в совокупности, если определение независимости сохраняется для любой l-мерной случайной величины:

б) Непрерывный случай

Случайные величины X₁,..., X_n независимы, если

Случайные величины независимы в совокупности, если определение независимости сохраняется для произвольного набора.

Доказать, что если случайная величина порождает композицию независимых, то они независимы.

Математическое ожидание скалярной функции случайной величины

Рассмотрим скалярную функцию (X₁,..., X_n) . В соответствии с теоремой, доказанной ранее, она является случайной величиной. Найдем ее математическое ожидание. Пусть

1) n=2

а) Дискретный случай

(X,Y)-дискретная случайная величина, вероятностное пространство которой строится по таблице, из которой вытекает:

б) Непрерывный случай

X и Y-независимые случайные величины. Тогда

Обоснуем вышеприведенную формулу:

Для удобства пространством элементарных событий двумерной случайной величины считаем всю плоскость, которую разбиваем на прямоугольники, с координатами x_i,y_j и длинами сторон .

Непрерывную случайную величину (X,Y) аппроксимируем дискретной ^(X,Y) по следующему правилу: если в результате испытания над дискретной случайной величиной (X,Y) она попала в (i,j) прямоугольник, то (X,Y) в этом испытании принимает значение (x_i,y_j) . Вероятность наступления этого события равна

Тогда математическое ожидание этой дискретной случайной величины равно

Чем меньше , тем более точно ^(X,Y) аппроксимирует (X,Y). В пределе, если он существует, получим:

2) Возьмем n произвольным:

а) Дискретный случай

, где

б) Непрерывный случай

Единственное отличие одномерной случайной величины X от одномерной случайной величины-числовой скалярной функции (X₁,..., X_n) заключается в следующем: в первом случае проводится испытание, результатом испытания является случайная величина X. Во втором случае проводится испытание над n-мерной случайной величиной. Результатом испытания является точка в n-мерном арифметическом пространстве. Реализацией случайной величины (X₁,..., X_n) в этом испытании является число (x₁,x₂,..., x_n).

Теорема: Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математического ожидания.

.

n=2

а) Дискретный случай

б) Непрерывный случай

n-произвольное

а) Дискретный случай (доказать самим)

б) Непрерывный случай

Теорема: Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий

а) Дискретный случай (доказать самим)

б) Непрерывный случай