Свойства m-мерной функции распределения

1. Если хотя бы один аргумент , то многомерная функция распределения равна 0 как вероятность невозможного события.

2. Если все аргументы ,то многомерная функция распределения равна 1 как вероятность достоверного события.

3. Многомерная функция распределения (МФР) является неубывающей по любой совокупности своих аргументов.

4. Функция распределения является непрерывной слева.

Теорема Колмогорова (без доказательства)

Теорема: Пусть задана числовая скалярная функция, удовлетворяющая приведенным четырем свойствам. Тогда доказано, что данная функция является функцией распределения некоторой -мерной случайной величины, однозначно задающей вероятностное пространство вида (R_m,_m,P).

Вывод: Если объектом исследования является -мерная случайная величина, достаточно найти либо оценить по результатам статистических испытаний над ней ее многомерную функцию распределения.

Определение: Числовая скалярная функция действительных аргументов называется борелевской, если для любого в пространстве R¹ множество .

Тогда можно доказать теорему, полностью повторяющуюся для одномерного случая, которая показывает, что если g(x₁,x₂, ...x_m) -борелевская, то является случайной величиной.

Примечание: Все аналитические скалярные числовые функции m действительных аргументов являются борелевскими.

Двумерные дискретные случайные величины

Двумерные дискретные случайные величины-это система из двух одномерных случайных величин, каждая из которых является дискретной. Порождается либо одним неделимым испытанием, либо композицией двух испытаний. Каждая случайная величина задается вероятностным пространством:

Здесь введены обозначения:

p(x_i)=P(X=x_i)

p(y_j)=P(Y=y_j)

Тогда вероятностное пространство двумерной случайной величины имеет вид:

p(x_i, y_j)=P(X=x_i, Y=y_j)

Т. е. двумерная дискретная случайная величина задается таблицей распределения следующего вида:

X Y	x1	...	xi	...	xn
y1	p(x1, y1)				p(xn, y1)	p(y1)
...
yj			p(xi, yj)
...
ym	p(x1, ym)				p(xn, ym)	p(ym)
	p(x1)				p(xn)

Некоторые p(x_i, y_j) могут быть равны нулю, а .

Если p(x_i, y_j)=0, то

Зададим событие A. В результате испытания над двумерной случайной величиной X=x_i

Тогда : А={(x_i,y₁), ..., (x_i, y_m)}

Рассмотрим событие B. В результате Y=y_j

Тогда: B={(x₁,y_j), ..., (x_s, y_j)}

- условная вероятность события X=x_i, если наблюдалось событие Y=y_j.

Самим показать, что

Покажем, что условные вероятности образуют полную группу событий:

(как вероятность достоверного события):

Определение: Условным математическим ожиданием случайной величины Yпри условии, что X=x_i называется

, (i=1,...s)

, (j=1,...m)

Функцию М(Y/х)= (определенную для значений (х=х₁, ..., х_n) называют еще регрессией Y по X.

Аналогично М(Х/y)= (y=y₁, ..., y_m) называют регрессией X по Y.

Эта функция описывает изменение центров тяжести масс вероятностей на вертикальных (в первом случае X=x_i=const) и горизонтальных (Y=y_i=const) прямых.

Определение: Условной дисперсией называется число:

Условное математическое ожидание-это число, относительно которого концентрируются результаты конкретных испытаний над одной случайной величиной, при условии, что в каждом конкретном испытании вторая случайная величина принимает одно и тоже фиксированное значение.

Условная дисперсия-это оценка степени концентрации результатов конкретных испытаний над одной случайной величиной относительно ее условного математического ожидания при условии, что в каждом конкретном испытании вторая случайная величина принимает одно и тоже фиксированное значение.

Обе характеристики имеют практическое значение в том случае, когда величина условной дисперсии мала. В этом случае, если измерение одной случайной величины недоступно, оно апроксимируется ее условным математическим ожиданием.