Формула сложения вероятностей

По третьей аксиоме теории вероятностей вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей слагаемых. Однако, когда слагаемые совместны, подобное соотношение, вообще говоря, неверно.

Пусть даны два события А и В. Покажем, что

Р(АВ)=Р(А)+Р(В)-P(АВ).

Заметим, что АВ можно представить в виде суммы трех несовместных слагаемых

Ранее было показано, что

Используя эти соотношения и третью аксиому теории вероятностей, получаем

Используя метод математической индукции, самостоятельно докажите формулу сложения для произвольного количества слагаемых

Формула полной вероятности.

Рассмотрим систему k событий В₁, В₂, ..., В_k. Пусть В_iB_j=Æ, i¹j, т.е. события системы попарно несовместны, и пусть Р(В_i)¹0, i=1,k. Если некоторое событие А удовлетворяет условию (сумма В_i накрывает А), то имеет место формула полной вероятности

.

B_i W

A

Действительно, т.к. В₁, В₂, ..., В_k несовместны, то несовместны и АВ₁, АВ₂, ..., АB_k. Тогда из третьей аксиомы теории вероятностей и формулы умножения вероятностей следует

.

Пример. Пусть имеются урны трех составов

1. 5 урн содержит 6 белых и 3 черных шара.

2. 3 урны содержат 10 белых и 1 черный шар.

3. 7 урн содержат 0 белых и 10 черных шаров.

Наугад выбирается урна, а затем наугад из нее извлекается шар. Определить вероятность того, что этот шар белый.

Введем события (гипотезы):

В₁ - выбрана урна первого состава;

В₂ - выбрана урна второго состава;

В₃ - выбрана урна третьего состава;

Событие А-извлечен белый шар.

Очевидно, В₁,В₂,B₃ попарно несовместны и В₁В₂В₃=W - достоверное событие (накрывает А). Тогда Р(А)=Р(В₁)Р(А/В₁)+Р(В₂)Р(А/В₂)+Р(В₃)Р(А/В₃).

Т.к. Р(В₁)=5/15=1/3, Р(В₂)=3/15=1/5, Р(В₃)=7/15, Р(А/В₁)=6/9=2/3, Р(А/В₂)=10/11, Р(А/В₃)=0, то Р(А)=1/3*2/3+1/5*10/11+7/15*0=40/99»0,4.

Формула Байеса* .

Условия те же, что и при выводе формулы полной вероятности (дополнительно предполагается Р(А)>0). Однако известно, что в испытании событие А произошло. Ищется вероятность того, что в этом испытании произошло событие В_i. Ответ дает так называемая формула Байеса

Для доказательства используем тот факт, что

Р(АВ_i)=P(A)P(B_i/A)=P(B_i)P(A/B_i).

Тогда (используется еще одна формула полной вероятности)

.

Вероятности P(B_i) событий B_i называются априорными вероятностями, а вероятности P(B_i/A) - апостериорными вероятностями.

Пример. В одной урне находится 3 белых и 3 черных шара, а в другой-1 белый и 5 черных шаров. Наугад выбирается урна, а затем из нее извлекается шар. Вынутый шар оказался белым. Определить вероятность того, что была выбрана первая урна.

Введем события:

В₁–выбрана первая урна;

В₂–выбрана вторая урна;

А –вынут белый шар.

Тогда

Р(В₁)=1/2, P(B₂)=1/2, Денис! если эти формулы есть у Саши, то вставь их сюда

P(A/B₁)=3/6=1/2, P(A/B₂)=1/6.

По формуле Байеса

Р(В₁/А)= .