Вероятностные меры

На различных классах множеств вероятностные меры вводятся так, чтобы они обладали отмеченными ранее свойствами частости.

Определение 5. Пусть А - некоторая алгебра подмножеств из . Функция множества Р(·), определенная на А, называется конечно-аддитивной вероятностной мерой на А, если она удовлетворяет следующим условиям:

1) Р(А)³0 для каждого A из А

2) Р(W) = 1

3) Р(АВ) = Р(А) + Р(В), если АÎА, ВÎА, АВ = Æ.

Методом мат. индукции самостоятельно получить обобщение свойства 3) на сумму любого конечного числа множеств А₁,А₂,...,А_m из А:

Р( А_і) = P(А_i),

если А_iïА_j =Æ, i¹j, i,j=1..m.

Возьмем произвольное AÎА. Тогда по свойствам алгебры ÎА. Далее, т. к. А = Æ и А = , то в силу свойств 2) и 3)

Р(А) + Р( ) = 1,

и, следовательно,

Р( ) = 1 - Р(А).

Очевидно, что из Æ= Î А и только что доказанного равенства следует

Р(Æ) = 0.

Кроме того, для произвольного А ÎА, имеем 0£Р(А)+ Р( ) = Р(W) = 1

Определение 6. Функция множества Р(·), определенная на алгебре А, называется счетно - аддитивной вероятностной мерой на А, если:

1) Р(А)³0 для каждого множества АÎА;

2) Р(W) = 1;

3) Р( А_і) = P(А_i), если А_iÎА, i=1..¥; A_iА_j = Æ, i ¹ j, и А_i ÎА.

Таким образом, вероятностная мера на алгебре счетно-аддитивна, если свойство аддиативности распространяется на счетные суммы непересекающихся множеств, когда эти суммы принадлежат алгебре.

Определение 7. Пусть F- некоторая s-алгебра подмножеств из W. Функция множества Р(·), определенная на F, называется вероятностью, если она обладает следующими свойствами:

1) Р(А) 0 для каждого А Î F;

2) Р(W) = 1;

3) если {A_i} - последовательность (событий) А_iÎF, i=1..¥, такая, что А_iА_j=Æ, i¹j, то

Р( А_і) = P(А_i).

Утверждения, задающие свойства s-алгебры и свойства вероятности, составляют систему аксиом теории вероятностей А. Н. Колмогорова.

Тройка (W, F, Р), где F есть s-алгебра подмножеств из W, а Р(·) - вероятностная мера на F, называется вероятностным пространством.

Построение вероятностных пространств Вероятностная модель эксперимента с конечным или счетным числом исходов

Рассмотрим вероятностный эксперимент с конечным или счетным числом возможных элементарных событий w₁, w₂, ... , w_і, ...,

W={w₁, ... , w_і, ...}.

В этом случае случайными событиями считаются произвольные подмножества W. Таким образом, F в этой схеме - множество всех подмножеств из W.

Каждому элементарному событию w_і приписывается некоторый “вес” р_і, называемый вероятностью элементарного события, так, чтобы р_і обладали следующими свойствами:

1. р_і³0;

2. =1.

Пусть А - произвольное случайное событие, то есть А - произвольное подмножество W. Вероятностью Р(А) события А называют сумму вероятностей элементарных событий, составляющих событие А

Р(А)= .

Нетрудно проверить, что введенная таким образом вероятность обладает всеми аксиоматическими свойствами.

Заметим, что теория вероятностей не занимается вопросом, “правильно” ли определены вероятности р_і элементарных событий w_і, соответствует ли построенная модель реальной ситуации или явлению, которую она должна описывать. Исследования, посвященные последней проблеме, часто выделяют в самостоятельную дисциплину и называют ее математической статистикой. Теория вероятностей отвечает лишь на вопросы, как вычислить вероятности различных сложных событий, связанных с построенной моделью (W, F, P).

Пример. Пусть симметричная монета бросается до тех пор, пока не появится “орел”. Тогда W={w₁, w₂, ... , w_n, ... ,w_¥}, где w_n= - элементарное событие, которое означает, что в испытании (n-1) раз выпала “решка”, а затем выпал “орел”; w_¥- элементарное событие, которое означает, что “орел” никогда не появится.

Припишем w_n вероятность 1/2ⁿ, а w_¥- вероятность 0.

Тогда

=1.

Таким образом, построена вероятностная модель эксперимента, состоящего в бросании монеты до первого появления “орла”. Подсчитаем вероятность события А, состоящего в том, что будет произведено не более трех бросаний монеты:

А={О, РО, РРО}.

Имеем

Р(А)= .