Математический аппарат характеристических функций

Используется в теории вероятностей для исследования предельных распределений и доказательства сходимости случайных последовательностей по распределениям.

Комплексная случайная величина

Случайная величина Z называется комплексной случайной величиной, если она представлена в виде

X,Y – случайные величины.

т.е комплексная случайная величина задается двумерной случайной величиной (X,Y). При этом для комплексных случайных величин справедливы арифметические операции как для обычных комплексных чисел. Если:

Z₁ = X₁ + iY₁,

Z₂ = X₂ + iY₂, то Z₁ + Z₂ = X₁ + X₂ + i(Y₁ + Y₂)

т.е. сумма двух комплексных случайных величин задается двумерной случайной величиной вида (X₁ + X₂, Y₁ + Y₂)

Произведение комплексной случайной величины:

Z₁×Z₂=(X₁X₂-Y₁Y₂)+i(X₁Y₂+X₂Y₁) задается двумерной случайной величины вида:

(X₁X₂ - Y₁Y₂, X₁Y₂ + X₂Y₁)

Модуль от комплексной случайной величины определяется:

Две комплексные случайные величины Z₁ и Z₂ называются независимыми, если независимыми являются две пары случайных величин (X₁, Y₁) (X₂, Y₂) или, что то же самое, попарно независимы: X₁X_2, X₁Y_2, Y₁X_2, Y₁Y₂.

Математическое ожидание комплексной случайной величины

В теории вероятностей математическое ожидание вычисляется в соответствии со следующими формулами:

1) Mj(X₁,...,X_n,i) =

Если имеется числовая скалярная функция действительных случайных аргументов и мнимой единицы, то математическое ожидание считается по стандартным аргументам, а i - параметр.

2)

Тогда MZ = MX + iMY. Математическое ожидание комплексной случайной величины удовлетворяет свойствам аддитивности и мультипликативности.

Определение. Характеристической функцией действительной случайной величины Х называется функция:

j_x(t) = Me^itx, где tÎR

На основании формулы Эйлера можно записать:

j_x(t) = Mcos tX + iMsin tX.

Если Х дискретная случайная величина, то

Если Х непрерывная случайная величина, то

Свойства характеристической функции

1. ½j_x(t)½£ 1

Доказательство: ½j_x(t)½= ½Me^itx½£ M½e^itx½= 1

2. Пусть случайная величина Y = aX+b, тогда

j_y(t) = e^itb×j_x(at)

Доказательство: j_y(t) =Me^it(ax+b)= e^itbMe^iat= e^itbj_x(at)

3. Характериситическая функция суммы независимых действительных случайных величин равна произведению характеристических функций.

Доказательство.

еcли независимы Х₁...Х_n, то независимы и . Тогда на основании теоремы о математическом ожидании произведения независимых комплексных случайных величин получаем:

4. Пусть конечным является (n_n < ¥) n-й начальный момент случайной величины Х. n_n = MXⁿ. Тогда для "k £ n k-я производная от характеристической функции при t=0 равна:

И имеет место следующее разложение:

x X - замена обозначений

Доказательство: Доказываем непрерывный случай. Дискретный аналогичен для производной функции.

Справедливость этой формулы выплывает из возможности замены местами операции дифференцирования и интегрирования. Докажем это. Для этого рассмотрим ряд вспомогательных результатов.

1. Пусть действительная функция комплексного аргумента сходится к f(x)

f_n(x)®f(x) и при этом

Тогда имеет место равенство:

2. Некоторые свойства математических ожиданий действительных случайных величин.

2.1. Доказать самим, что Х ³ 0, то МХ ³ 0.

2.2. Рассмотрим действительную случайную величину Х и введем две случайные величины:

Очевидно, что J_{(x ³ 0)} + J_{(x < 0)} = 1, тогда

Х=Х(J_{(x ³ 0)} + J_{(x < 0)}) = ХJ_{(x ³ 0)} + ХJ_{(x < 0)} = ХJ_{(x ³ 0)} - ½Х½J_{(x < 0)}

Х⁺ = ХJ_{(x ³ 0)}

Х^- =½Х½J_{(x < 0)}

X= Х⁺ - Х^-

Вывод: МX= МХ⁺ - МХ^-. Если числа МХ⁺, МХ^- равны:

1) (¥,¥), то МХ неопределено

2) (¥,<¥), то МХ = ¥

3) (<¥,¥), то МХ = -¥

4) (<¥,<¥), то МХ < ¥

Очевидно, что ½X½= Х⁺ + Х^-. Следовательно, если МХ < ¥ , то М½Х½ < ¥ и наоборот. Очевидно, что если МХ^k < ¥, k=1..¥ Î N, то М½Х^k½= М½Х½^k< ¥.

2.3. Если Х ³ Y, то доказать самим, что МХ ³ МY (см. первое свойство).

2.4. Очевидно, что -|X| £ X £ |X| Þ |MX| £ M|X|

5. Пусть конечно: M|X|^k<¥. Покажем, что в этом случае M|X|^s<¥, для

s£k:

Вернемся к доказательству четвертого свойства характеристической функции. Надо доказать:

Доказываем по индукции: k=0

–справедливо.

Пусть она верна для k < n

Найдем:

Рассмотрим

Рассмотрим

т.к. по определению n_n = MXⁿ < ¥, а следовательно, M|X|ⁿ < ¥, а следовательно, M|X|^s <¥, s£n