Вторая модель распределения Пуассона.

Рассматривается обычная схема испытаний Бернулли, в которой n велико, а p – достаточно мало. Точная формула для вероятности появления события А m раз в n испытаниях имеет вид

P_n(m) = .

При больших n по этой формуле вычислить Р_n(m) сложно. Хорошее приближение дает выражение

P_n(m) » ,

где а=np=сonst=MX

Действительно,

Непрерывные случайные величины.

Пусть Х – случайная величина с функцией распределения F(x)=P(X<x). Будем рассматривать пространство элементарных событий как совокупность всех точек числовой оси.

Если F(x) – непрерывная функция, то по свойству функции распределения вероятность того, что случайная величина Х примет любое значение х

P(X=x)=F(x+0)-F(x)=0

Мы столкнулись с ситуацией, когда событие принципиально может произойти в результате испытания, но имеет вероятность, равную нулю. В инженерном толковании это означает: в конечной серии испытаний данное событие никогда не произойдет.

Говорят, что случайная величина имеет плотность распределения, если существует функция f(x) такая, что для всех х выполняется равенство

. (1)

Функция f(x) называется плотностью распределения случайной величины Х. Если распределение имеет плотность, то мы будем говорить, что случайная величина имеет абсолютно непрерывное распределение, а случайную величину Х называть непрерывной.

Если плотность f(x) является непрерывной функцией (возможно, на некотором отрезке), то из курса математического анализа известно, что функция F(x), определяемая равенством (1), дифференцируемая и F^/(x)=f(x) (внутри отрезка). В этом случае

1. Заметим, что F^/(x)³0, т.к. F(x) – неубывающая функция. Следовательно, f(x) – неотрицательная функция: f(x)³0.

2. Далее, если случайная величина Х имеет плотность распределения f(x), то

(2)

Действительно,

В случае непрерывной плотности распределения из равенства (2) имеем

P(x£X<x+Dx)=f(x)Dx+o(Dx),

т.е. вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение в отрезке достаточно малой длины Dх, с точностью до о(Dх) равна f(x)Dx.

3. Поскольку F(+¥)=1, то, учитывая (1), получаем

(3)

Свойство неотрицательности и свойство (3) являются характеристическими для плотности распределения. Каждая неотрицательная функция, обладающая свойством (3), является плотностью распределения некоторой случайной величины. Это следует из того, что если f(x) – такая функция, то функция F(x), определенная равенством (1), удовлетворяет всем условиям упоминавшейся ранее теоремы Колмогорова.

Поэтому мы в дальнейшем будем часто оперировать с функциями, обладающими указанными характеристическими свойствами, как с плотностями распределения некоторых случайных величин, не проводя конструктивных построений этих случайных величин.

В заключение заметим, что если случайная величина имеет плотность распределения f(x), то для любого борелевского множества В имеет место равенство

(без доказательства).

Пример. Случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [a,b], если плотность распределения f(x) равна

f(x)

1

b-a

0 a b x

Из условия нормировки (3) имеем

откуда

Соответствующая функция распределения имеет вид

F(x)

1

0 a b x

Пример. Случайная величина Х имеет экспоненциальное (показательное) распределение, если плотность распределения равна

F (x)



0 x

Непрерывная случайная величина является математической абстракцией и в чистом виде на практике не встречается хотя бы потому, что теоретически не может существовать измерительное устройство, вычисляющее значения этой величины. Следовательно, исследователь всегда имеет дело со случайными дискретными величинами. На практике дискретную случайную величину аппроксимируют непрерывной, если множество значений дискретной случайной величины равномерно и “плотно” заполняет некоторый отрезок числовой оси. Это удобно, т. к вероятностные характеристики задаются не с помощью совокупности чисел – вероятностей элементарных событий, а с помощью функции F(x) или f(x).

В теоретическом плане многие конструктивные результаты получены с помощью понятия непрерывной случайной величины.