Вероятностные характеристики непрерывных случайных величин.

Пусть имеется непрерывная случайная величина Y, являющаяся функцией от непрерывной случайной величины Х, т.е. Y=x(X).

Математическим ожиданием случайной величины Y называется число:

где f­_X(x) – плотность распределения случайной величины Х, если . В дальнейшем для простоты изложения будем предполагать, что распределения случайных величин таковы, что все встречающиеся несобственные интегралы существуют, и не будем выяснять условия их существования.

Обоснование введения такого определения. Аппроксимируем непрерывную случайную величину Y случайной величиной Y*, которая является дискретной. Пространством элементарных событий для случайной величины Х считаем всю ось. Разобьем всю числовую ось на отрезки достаточно малой длинны Dх.

... ... ...

| | | | | | | | | x

x_-n x_-n+1 x_-1 x₀ x₁ x_n-1x_n

Если в результате испытания случайная величина Х попала в отрезок с начальной вершиной х_i, то считаем, что случайная величина Y* приняла значение x(х_i). Вероятность того, что Y* примет значение x(х_i) с точностью о(Dх) равна f_X(x_i)Dx.

Строим таблицу

Тогда по определению математического ожидания дискретной случайной величины

При n®¥, Dх®0 сумму заменяем интегралом

Если Y=X, то имеем формулу для математического ожидания случайной величины Х

Самим показать, что свойства математического ожидания дискретной случайной величины сохраняются и для непрерывного случая:

M(aX+b)=aMX+b.

Для непрерывной случайной величины начальные моменты, центральные моменты, дисперсия и среднее квадратичное отклонение определяются соотношениями:

Самостоятельно показать, что выполняются свойства (аналогично-дискретной случайной величины)

По аналогии с дискретным случаем производящая функция непрерывной случайной величины определяется как

В предположении аналитичности функции m_X(t) в нуле доказать самостоятельно, что

Распределение Гаусса* (нормальное распределение).

Сейчас мы познакомимся с распределением, которое играет исключительно важную роль в теории вероятностей и математической статистике, теории ошибок и т. д.

Случайная величина имеет нормальное распределение (распределение Гаусса) или называется нормально распределенной, если ее плотность распределения имеет вид

По определению имеем функцию распределения

Видно, что -неотрицательна.

Проверим условие нормировки :

Найдем выражение для производящей функции нормального распределения

Таким образом

Находим (проверить самостоятельно)

Таким образом параметр равен математическому ожиданию

Далее (проверить самостоятельно)

Наконец,

Таким образом параметр ² есть дисперсия X ,  -среднее квадратичное отклонение. Поэтому в дальнейшем будем писать

График плотности распределения n(x, , ) имеет вид

Рассмотрим нечетные начальные моменты нормальной случайной величины с нулевым математическим ожиданием =0.

т. к. под знаком интеграла - нечетная функция, а интервал интегрирования симметричен относительно нуля. Производящая функция для такой случайной величины имеет вид