3. Теорема Колмогорова.

А. Н. Колмогоров доказал в определенном смысле обратное утверждение теореме 1: если некоторая функция F(x) обладает свойствами 1)- 4), указанными в теореме 1, то существует вероятностное пространство (W, G, P) и случайная величина j(w) на нем такая, что функция распределения j(w) равна F(x).

Не останавливаясь на деталях доказательства, укажем лишь, что в качестве W берется R¹=(-¥,¥), в качестве G - s-алгебра борелевских множеств на числовой оси B. Для конечных сумм непересекающихся интервалов

конечно-аддитивная вероятностная мера определяется соотношением

.

Показывается, что она счетно-аддитивна на алгебре А интервалов вида [a,b) и конечном объединении таких интервалов. Далее, используя теорему Каратеодори, она продолжается на s-алгебру борелевских множеств числовой оси B. В качестве случайной величины берется функция j(w)=w, для которой функцией распределения является F(x).

Приведенные результаты позволяют утверждать следующее: если вы исследуете случайную величину и вас интересуют вероятности попадания ее в некоторые интервалы на числовой оси, или в сумму таких интервалов, то не нужно строить исходное вероятностное пространство (W, G, Р) и конкретный вид функции j(w). Можно считать пространством элементарных событий W числовую ось R¹, случайными событиями борелевские множества на этой оси. Для вычисления искомых вероятностей нужно некоторым образом оценить функцию распределения F(x) (позднее будет показано как это делается статическими методами по результатам испытаний над случайной величиной, т.е. по ее реализациям x₁, x₂, ..., x_n) и по этой функции определять вероятности интересующих нас событий.

В дальнейшем случайные величины будем обозначать большими буквами латинского алфавита X, Y, Z, ..., а для вероятностей событий типа Р(w:Х(w)ÎB) будем употреблять сокращенную запись Р(ХÎB). Так для функции распределения случайной величины Х будем использовать запись F(x)=P(X<x).

4. Функции от случайных величин.

Во многих задачах теории вероятностей приходится изучать не только исходную случайную величину Х, но и некоторую функцию от нее g(X). Ясно, что если говорить о вероятности попадания функции g(X) в некоторую область на числовой оси, то необходимо чтобы Y=g(X) была сама случайной величиной. Оказывается, что не всякая функция от случайной величины есть случайная величина. Однако можно указать широкий класс функций, обладающих этим свойством.

Определение 3. Пусть g(х) – функция, осуществляющая отображение

R¹ в R¹, и пусть B - s-алгебра борелевских множеств в R¹. Функция g(х) называется борелевской функцией, если она измерима относительно s-алгебры B, т.е. если для каждого yÎR¹ {x:y(x)<y}Î B.

Отметим, что класс борелевских функций достаточно богат; он содержит, в частности, все непрерывные и кусочно-непрерывные функции (без доказательства).

Теорема 3. Пусть g(x) – борелевская функция на R¹, а Х(w) – случайная величина на вероятностном пространстве (W, G, P). Тогда Y(w)=g(X(w)) – случайная величина, т.е. Y(w) – измеримая функция относительно s-алгебры G.

Доказательство. Поскольку функция g(x) борелевская, то для каждого yÎR¹

В={x:g(x)<y}ÎB, т.е. В – борелевское множество на числовой оси.

Следовательно, по теореме 2 для каждого yÎR¹

{w:Y(w)=g(X(w))<y}={w:X(w)ÎВ}ÎG

и значит Y(w) – случайная величина.

Дискретные случайные величины.

Пусть (W, G, P)–вероятностное пространство.

Определение. Случайная величина X(w) называется дискретной, если в результате испытания она может принять значения из конечного либо счетного множества возможных числовых значений.

Пусть дискретная случайная величина X(w) принимает значения х₁, х₂,...,х_s,... Из того, что она случайная величина, и из того, что одноточечные множества на оси являются борелевскими, следует (согласно предыдущим результатам), что определены вероятности

р_i=P(w:X(w)=x_i).

Набор этих вероятностей называется распределением случайной величины X(w).

Наоборот, если для некоторой функции X(w), принимающей счетное число значений определены для каждого i вероятности р_i=P(w:X(w)=x_i), то это означает, что {w:X(w)=x}ÎG, а следовательно и для каждого действительного х

{ w : X (w ) < x }=U { w : X (w ) = x_i }ÎG, x_i<x,

т.е. X(w) измерима относительно G и является случайной величиной.

Функция распределения дискретной случайной величины имеет вид

Это неубывающая ступенчатая непрерывная слева функция, график которой условно можно представить следующим образом (считаем, что х₁<x₂<...<x_s<...)

x₁ x₂ 0 x₃ ... x_s x

Однако распределение дискретной случайной величины удобнее характеризовать с помощью следующей таблицы

	Значення Х(w)	x1	x2	...	xs	...
	Вероятности Р(Х=хі )	p1	p2	...	ps	...

Заметим, что

Пример. Испытание – композиция n независимых испытаний, в каждом из которых происходит событие А с вероятностью р, либо противоположное с вероятностью q=1-p. Случайная величина Х – количество наступления событий А в n независимых испытаниях. Как уже отмечалось, распределение величины Х – биномиальное. Соответствующая таблица имеет вид

X	0	1	2	...	m	...	n
Р	qn	Cn1pqn-1	Cn2p2qn-2		Cnmpmqn-m		pn

Случайная величина - количество раз в n испытаниях, когда произошло событие А.