2. Свойства функции распределения.

Рассмотрим два случайных события (предполагаем а<b) :

A₁={w:j(w)<b}Îs;

A₂={w:j(w)<a}Îs.

Из свойств s-алгебры выходит, что

A₃=A₁\A₂={w: a£j(w)<b}Îs,

то есть тоже является случайным событием и имеет вероятность наступления. Заметим, что А₂ и А₃ несовместны и А₁=А₂А₃. Тогда по ІІІ аксиоме теории вероятностей

Р(А₁)=Р(А₂)+Р(А₃)

если

F(b)=F(a)+P{w: a£j(w)<b}.

Откуда

P{w: a£j(w)<b}=F(b)-F(a),

что дает формулу вычисления вероятностей попадания случайной величины в интервалы вида [a,b) по функции распределения.

Так как вероятность неотрицательна, то из последнего соотношения следует

F(a)£F(b), a<b,

то есть F(x) - неубывающая функция.

Покажем, что F(x) непрерывна слева. Это следует из свойства непрерывности вероятности в нуле. Потому что события

A_n={w:x- £j(w)<x}¯Æ, то P(A_n)=F(x)-F(x- )®0, то есть F(x-0)=F(x).

Замечание. В литературе вы можете встретить утверждение о том, что функция распределения непрерывна справа. Однако, обратите внимание на то, что там иначе определяется функция распределения:

F(x)=P{w: j(w)£x}.

Убедимся еще, что имеют место следующие свойства функции распределения:

;

.

Изобразим W в виде суммы несовместных событий:

, где А_n={w: n-1£j(w)<n}.

Тогда

и, следовательно, , .

Таким образом теорема доказана.

Теорема 1. Функция распределения F(x) обладает следующими свойствами:

1. F(x) не убывает;

2. F(x) непрерывна слева;

3. F(¥)=1;

4. F(-¥)=0.

Теперь вернемся к вопросу: при каких BÌ(-¥,¥) j^-1(B)={w:j(w)ÎB} является случайным событием, то есть j^-1(B)Îs.

Из определения случайной величины следует, что такими множествами на оси являются интервалы вида B=(-¥,¥). Ранее было показано, что указанному свойству удовлетворяют интервалы вида В=[a,b)Ì(-¥,¥). Оказывается, что этому свойству удовлетворяют любые борелевские множества на числовой прямой.

Теорема 2. Пусть (W, s, P) - вероятностное пространство, j(w) - случайная величина на нем, В - произвольное борелевское множество на числовой прямой. Тогда множество

j^-1(B)={w: j(w)ÎB}

является случайным событием, то есть j^-1(B)Îs.

Доказательство. Прежде всего заметим, что операция сохраняет теоретико-множественные операции. А именно, очевидны равенства

= Î = ,

,

.

Ясно также, что j^-1(-¥,¥)=W.

Из сказанного следует, что класс К множеств В, для которых

K={B: BÍ(-¥,¥), j^-1(B)Îs}

образует s-алгебру. Ранее было доказано, что классу К принадлежат интервалы [a,b). Поэтому наименьшая s-алгебра B, содержащая все интервалы вида [a,b), то есть s-алгебра борелевских множеств на числовой оси, содержится в классе К. Итак, утверждение теоремы справедливо для любого борелевского множества В.

Из теоремы 2 следует, что для любого борелевского множества В определена вероятность

Р{w:j(w)ÎВ}

Эту вероятность будем обозначать Р_j(В).

Таким образом, каждая случайная величина j дает такое отображение j=j(w) множества W в числовую прямую R¹=(-¥,¥), которое порождает новое вероятностное пространство (R¹, B, P_j).

Используя данное свойство функции распределения P_j([a,b))=F(b)‑F(a), можно по ней определять вероятности попадания случайной величины в интервалы и суммы интервалов вида [a,b).