Классическое определение вероятности.

Рассмотрим частный случай схемы, приведенной ранее. А именно: пусть W={w₁, w₂, ... , w_m} состоит из конечного числа элементарных событий, и все элементарные события равнозначны, то есть ни одному из них нельзя отдать предпочтение до испытания, следовательно их можно считать равновероятными. Припишем каждому w_і вероятность .

Вероятность достоверного события

Р(U)= P(w_i)=1.

Пусть АÌW - случайная событие, состоящее из k элементарных событий (в этом случае говорят, что событию А благоприятствуют k элементарных событий). Тогда

Р(А)= P(w_i)= .

Определение (классическое определение вероятности).

Рассмотрим испытание, имеющее m одинаково возможных конкретных исходов. Предположим, что событию А благоприятствует k из этих результатов. Тогда

Р(А)= .

Пример. Бросается симметричный игральный кубик. Пространство элементарных событий W={w₁, ... , w₆}. Пусть А- событие, состоящее в том, что количество выпавших очков не больше чем 4, то есть А={w₁, w₂, w₃, w₄}. Тогда имеем

Р(А)= .

Построение вероятностных моделей для экспериментов с несчетным числом исходов.

Выше рассматривались примеры испытаний, множество элементарных событий у которых являлось конечным или счетным множеством. Возникает вопрос: как строится вероятностное пространство для испытаний с несчетным числом элементарных исходов.

Особенности такого построения рассмотрим на одном простом примере.

Пусть испытание состоит в бросании наугад точки на отрезок [0,1). Предполагается, что все мыслимые положения точки "одинаково возможны". Пространство элементарных событий для такого испытания - отрезок W=[0,1). Однако в данном случае уже нельзя построить вероятностную модель, приписав вероятности (одинаковые и не равные нулю) для каждого w (точки из отрезка [0,1)). Действительно, если бы P(w)=c>0 для всех wÎ[0,1), то, взяв только счетное множество рациональных чисел из этого отрезка, мы получили бы, что , т.е. заведомо не выполнялось бы свойство вероятности Р(W)=1.

Таким образом, поскольку все w "одинаково возможны", получаем Р(w)=0 для каждого wÎ[0,1).

Поэтому в данном испытании вероятности приписываются не отдельным точкам, а некоторым множествам их. Причем задание вероятностей должно производиться согласованным образом. Например, ввиду "равновозможности" естественно считать, что вероятности попадания в интервалы [0,1/2) и [1/2,1) должны быть одинаковыми (и, следовательно, каждая из них должна быть равна1/2); вероятность попадания в отрезок [0,1/2) должна быть больше, чем вероятность попадания в отрезок [0,1/3).

Кроме того, необходимо, чтобы класс тех множеств, которым приписаны вероятности, был замкнут относительно операций объединения, пересечения, перехода к дополнению.

Рассмотрим класс А всех отрезков вида [a,b)Í[0,1), а также всех конечных объединений непересекающихся отрезков . Класс А является алгеброй. Будем считать, что вероятностная мера попадания в отрезок [a,b)Í[0,1) равна b-a, а вероятностная мера объединения непересекающихся отрезков равна (тут m может быть бесконечным). Такая вероятностная мера на алгебре А является счетно-аддитивной. Пусть В=s(А)- наименьшая s- алгебра, содержащая класс А (это s-алгебра борелевских множеств отрезка [0,1)).

Далее воспользуемся теоремой, которую приведем без доказательства.

Теорема Каратеодори^* о продолжении меры. Пусть Q-счетно-аддитивная вероятностная мера на некоторой алгебре А. Тогда существует единственная счетно-аддитивная мера Р(×), определенная на наименьшей s-алгебре F=s(A), содержащей А, и являющейся продолжением меры Q, т.е. мера Р(×) такая, что Р(А)=Q(А) для каждого АÎА.

Возвращаясь к нашему примеру, заметим, что по теореме о продолжении меры следует существование единственной меры Р(×) на В=s(А), такой, что Р([a,b))=b-a. Будем рассматривать в качестве случайных событий только борелевские множества из [0,1) и вероятностью назовем Р(А). Итак, мы построили вероятностное пространство (W, В, Р) для нашего испытания, состоящего в бросании наугад точки на [0,1), указав пространство элементарных событий W=[0,1) и s-алгебру В случайных событий, для которых определена вероятность Р(×).

Заметим, что существенным является выбор в качестве случайных событий лишь части подмножеств из W=[0,1), а именно s-алгебры борелевских множеств. Ибо на множестве всех подмножеств из [0,1) нельзя определить меру Р(×) так, чтобы Р([a,b))=b-a для всех [a,b) Í[0,1) (без доказательства).