Функция Лапласа* .

Функцией Лапласа называется функция вида

выражающая площадь под кривой n(z, 0, 1) в промежутке (0, z), где n(z, 0, 1) -нормированное нормальное распределение.

Свойства :

1. При z>0 функция Лапласа есть вероятность попадания

   нормальной случайной величины с параметрами в интервал .

2. 

3. -нечетная функция .

Функция Лапласа табулирована. Она используется для вычисления вероятностей попадания нормальной случайной величины в различные интервалы.

Найдем вероятность того, что случайная величина с плотностью попадет в интервал [a,b):

Распределение функций от случайной величины

Пусть имеется непрерывная случайная величина X c плотностью распределения f_x(x).

Рассмотрим случайную величину H, которая является функцией от X:

H=H(x)

Задача состоит в том, чтобы по плотности распределения f_x(x) случайной величины определить плотность распределения f_H(h) случайной величины H.

Предположим, что f_x(x) непрерывна, отображение h=h(x) взаимно однозначно и обратная функция x=x(h) непрерывно дифференцируема.

x x+dx

h h+dh

Рассмотрим в пространстве элементарных событий для случайной величины H отрезок (h,h+dh).

Событию - попадание H в отрезок (h,h+dh) в силу однозначности соответствует попаданиe X в отрезок (x,x+dx). При этом вероятности наступления этих событий одинаковы. Для dx>0, dh>0

Вероятность первого события равна f_H(h)dh+0(dh).

Вероятность второго события

Следовательно

Неравенство Чебышева*.

Пусть Z- непрерывная неотрицательная случайная величина с конечным математическим ожиданием MZ, с плотностью распределения f(z) (f(z)=0, z<0). Тогда для каждого 0 имеет место неравенство Чебышева:

(1)

Действительно,

откуда и получаем (1).

Заметим, что непрерывность случайной величины Z здесь не принципиальна, неравенство (1) имеет место для любой неотрицательной случайной величины с конечным математическим ожиданием.

Пусть X- случайная величина, a- число, M(X-a)²< 

Тогда для каждого >0

(2)

Неравенство (2) непосредственно следует из (1).

В частном случае, когда a=_=MX, имеем

. (3)

Наконец, если в (3) вместо  взять , где , t-произвольное положительное число, получаем

. (4)

Основное достоинство неравенств (1) - (4) состоит в том, что не требуется знание закона распределения случайной величины, а используются только некоторые моменты. Недостаток - эти неравенства дают грубые оценки вероятностей событий, связанных со случайными величинами.

Многомерные случайные величины

Пусть имеется вероятностное пространство . Зададим m одномерных случайных величин: , которые в совокупности называются m-мерной случайной величиной. К необходимости такой теоретической конструкции приводит чисто инженерная задача, например:

Испытание-реализация ТП по выпуску продукции.

Исход иcпытания-численное значение количественных параметров, определяющих качество продукции. Так как в процессе изготовления продукции действуют различные случайные факторы, то исход испытания является неоднозначным. Так как все функции X_i() являются измеримыми, то для любого действительного набора чисел x₁,x₂, ...x_m определена числовая скалярная функция m действительных элементов F(x₁,x₂, ...x_m) , которая при фиксированных значениях своих аргументов равна:

F(x₁,x₂, ...x_m) =P(X₁()<x₁, X₂()<x₂, ..., X_m()<x_m)

Действительно, обозначим событие

A_i={ X_i() <x_i}, i= .

В силу измеримости X_i() каждое и следовательно:

F(x₁,x₂, ...x_m) =P(X₁()<x₁, X₂()<x₂, ..., X_m()<x_m)=P

Эта функция называется многомерной функцией распределения (или -мерной) -мерной случайной величины.

Примечание: В нашем курсе мы зададим лишь один класс многомерных функций (непрерывные многомерные функции), для которых конструктивно будет вычисляться вероятность попадания в многомерный полуинтервал, либо в систему многомерных полуинтервалов.

Строим минимальную сигма-алгебру, включающую данную алгебру, которая называется борелевской -алгеброй в m-мерном пространстве. На основании теоремы о продолжении построенная счетно-аддитивная мера на алгебре однозначно продолжается на борелевскую алгебру в m-мерном арифметическом пространстве, то есть m-мерная случайная величина задала новое вероятностное пространство.